(Halliday) Um fluido gira com velocidade angular constante omega em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Mostre que a variação da pressão com a profundidade é
P=rho g h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido que está girando com uma velocidade angular constante dentro de um reservatório cilíndrico. Nosso objetivo é mostrar como a pressão varia com a profundidade nesse fluido, chegando à fórmula . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de equilíbrio de fluidos, pressão hidrostática e os efeitos da rotação em um fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa pressão hidrostática. Em um fluido parado, a pressão aumenta com a profundidade devido ao peso do fluido acima. A fórmula geral para pressão hidrostática é , onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a profundidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar o fluido que está girando com velocidade angular constante . Quando o fluido gira, além da pressão hidrostática que aumenta com a profundidade, há também um efeito centrífugo que faz a pressão variar radialmente. No entanto, como o enunciado pede apenas para mostrar a variação da pressão com a profundidade, podemos focar na componente vertical da pressão.

Passo 4

Mesmo com a rotação, na direção vertical, o equilíbrio das forças ainda depende apenas do peso do fluido acima. Isso porque o efeito da rotação age na direção radial, não interferindo diretamente na variação da pressão com a profundidade. Portanto, a fórmula da pressão hidrostática permanece válida:
P = rho g h

Resposta

A variação da pressão com a profundidade no fluido em rotação é dada por .

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