(Halliday) Um fluido gira com velocidade angular constante
em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Mostre que a variação da pressão com a profundidade é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido que está girando com uma velocidade angular constante
dentro de um reservatório cilíndrico. Nosso objetivo é mostrar como a pressão varia com a profundidade nesse fluido, chegando à fórmula
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de equilíbrio de fluidos, pressão hidrostática e os efeitos da rotação em um fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa pressão hidrostática. Em um fluido parado, a pressão aumenta com a profundidade devido ao peso do fluido acima. A fórmula geral para pressão hidrostática é
, onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar o fluido que está girando com velocidade angular constante
. Quando o fluido gira, além da pressão hidrostática que aumenta com a profundidade, há também um efeito centrífugo que faz a pressão variar radialmente. No entanto, como o enunciado pede apenas para mostrar a variação da pressão com a profundidade, podemos focar na componente vertical da pressão.
Passo 4
Mesmo com a rotação, na direção vertical, o equilíbrio das forças ainda depende apenas do peso do fluido acima. Isso porque o efeito da rotação age na direção radial, não interferindo diretamente na variação da pressão com a profundidade. Portanto, a fórmula da pressão hidrostática permanece válida:
Resposta
A variação da pressão com a profundidade no fluido em rotação é dada por
.