Halliday, Resnick & Walker [Q14-47] Uma esfera sólida uniforme de 500 kg tem um raio de 0,400 m. Encontre a magnitude da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de 50,0 g localizada a 0,200 m do centro da esfera.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma esfera sólida e uniforme com massa de 500 kg e raio de 0,400 metros. Queremos descobrir qual é a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma partícula de 50,0 gramas que está a 0,200 metros do centro da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e a lei da atração de Newton.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A massa da partícula está em gramas, então vamos converter para quilogramas:
50,0 , g = 0,050 , kg

Passo 3

Como a partícula está dentro da esfera (0,200 m < 0,400 m), a força gravitacional que atua sobre ela depende apenas da massa que está dentro do raio de 0,200 metros. Para uma esfera uniforme, a massa dentro de um raio $ r $ é dada por:
r
Onde:
  • $ M_{total} = 500 , kg $ é a massa total da esfera,
  • $ R = 0,400 , m $ é o raio total da esfera,
  • $ r = 0,200 , m $ é a distância do centro onde está a partícula.
Substituindo os valores:
Minterno = Mtotal times ( rR )^3

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para calcular a força gravitacional:
F = G M cdot mr^2
Onde:
  • $ G = 6,67430 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $ é a constante gravitacional,
  • $ M = 62,5 , kg $ é a massa interna que calculamos,
  • $ m = 0,050 , kg $ é a massa da partícula,
  • $ r = 0,200 , m $ é a distância do centro.
Substituindo os valores:
G = 6,67430 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
(0,200)^2 = 0,0400 , m^2
Agora, multiplique as massas:
62,5 times 0,050 = 3,125 , kg^2
Agora, divida as massas pelo quadrado da distância:
3,1250,0400 = 78,125 , kg/m^2
Por fim, multiplique pela constante gravitacional:
F = 6,67430 times 10^-11 times 78,125 approx 5,217 times 10^-9 , N

Resposta

A magnitude da força gravitacional exercida pela esfera sobre a partícula é aproximadamente 5,2 times 10^-9 newtons.

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