Halliday, Resnick & Walker [Q14-47] Uma esfera sólida uniforme de 500 kg tem um raio de
. Encontre a magnitude da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de
localizada a
do centro da esfera.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma esfera sólida e uniforme com massa de 500 kg e raio de 0,400 metros. Queremos descobrir qual é a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma partícula de 50,0 gramas que está a 0,200 metros do centro da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e a lei da atração de Newton.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A massa da partícula está em gramas, então vamos converter para quilogramas:
Passo 3
Como a partícula está dentro da esfera (0,200 m < 0,400 m), a força gravitacional que atua sobre ela depende apenas da massa que está dentro do raio de 0,200 metros. Para uma esfera uniforme, a massa dentro de um raio $ r $ é dada por:
Onde:
- $ M_{total} = 500 , kg $ é a massa total da esfera,
- $ R = 0,400 , m $ é o raio total da esfera,
- $ r = 0,200 , m $ é a distância do centro onde está a partícula.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para calcular a força gravitacional:
Onde:
- $ G = 6,67430 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $ é a constante gravitacional,
- $ M = 62,5 , kg $ é a massa interna que calculamos,
- $ m = 0,050 , kg $ é a massa da partícula,
- $ r = 0,200 , m $ é a distância do centro.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
Agora, multiplique as massas:
Agora, divida as massas pelo quadrado da distância:
Por fim, multiplique pela constante gravitacional:
Resposta
A magnitude da força gravitacional exercida pela esfera sobre a partícula é aproximadamente
newtons.