Um sistema físico é descrito pela lagragiana
L=m2(dotrho^2+rho^2 dotphi^2+dotz^2)+a rho^2 dotphi
onde (rho, phi, z) são as coordenadas cilíndricas e a uma constante. determine a Hamiltoniana,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Lagrangiana que descreve um sistema físico usando coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). Nosso objetivo aqui é encontrar a Hamiltoniana desse sistema. Para isso, vamos precisar entender de mecânica clássica, especificamente como passar da Lagrangiana para a Hamiltoniana usando momentos conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a Hamiltoniana H é dada por:
H = sumi pi dotqi - L
Aqui, pi são os momentos conjugados associados às coordenadas generalizadas qi, que no nosso caso são rho, phi e z.

Passo 3

Vamos começar encontrando os momentos conjugados para cada coordenada. O momento conjugado pq para uma coordenada q é definido por:
pq = partial Lpartial dotq
Então, vamos calcular prho, pphi e pz a partir da Lagrangiana dada.

Passo 4

Calculando prho:
prho = partial Lpartial dotrho = m dotrho
Isso porque a única parte da Lagrangiana que depende de dotrho é m2 dotrho^2.

Passo 5

Agora, calculando pphi:
pphi = partial Lpartial dotphi = m rho^2 dotphi + 2a rho^2 cdot 12 = m rho^2 dotphi + a rho^2
Observe que a derivada da parte a rho^2 dotphi em relação a dotphi a rho^2.

Passo 6

Em seguida, calculando pz:
pz = partial Lpartial dotz = m dotz
Assim como para prho, a derivada é direta da parte cinética m2 dotz^2.

Passo 7

Agora que temos os momentos conjugados, precisamos expressar as velocidades dotrho, dotphi e dotz em função de prho, pphi e pz.
Para dotrho e dotz:
dotrho = prhom, dotz = pzm

Passo 8

Para dotphi, resolvemos a expressão de pphi:
pphi = m rho^2 dotphi + a rho^2 Rightarrow dotphi = pphi - a rho^2m rho^2

Passo 9

Agora, substituímos essas expressões na fórmula da Hamiltoniana:
H = prho dotrho + pphi dotphi + pz dotz - L
Substituindo as velocidades:
H = prho (prhom) + pphi (pphi - a rho^2m rho^2) + pz (pzm) - L

Passo 10

Vamos simplificar cada termo:
H = prho^2m + pphi (pphi - a rho^2)m rho^2 + pz^2m - L
Agora, precisamos substituir a Lagrangiana L na expressão.

Passo 11

Relembrando a Lagrangiana:
L = m2(dotrho^2 + rho^2 dotphi^2 + dotz^2) + a rho^2 dotphi
Substituindo as velocidades:
L = m2((prhom)^2 + rho^2 (pphi - a rho^2m rho^2)^2 + (pzm)^2) + a rho^2 (pphi - a rho^2m rho^2)

Passo 12

Simplificando a expressão de L:
L = 12m(prho^2 + (pphi - a rho^2)^2rho^2 + pz^2) + a (pphi - a rho^2)m
Agora, substituímos L de volta na expressão de H.

Passo 13

Substituindo L na equação de H:
H = prho^2m + pphi (pphi - a rho^2)m rho^2 + pz^2m - [12m(prho^2 + (pphi - a rho^2)^2rho^2 + pz^2) + a (pphi - a rho^2)m]

Passo 14

Simplificando a expressão:
H = prho^2m + pphi^2 - a rho^2 pphim rho^2 + pz^2m - prho^22m - (pphi - a rho^2)^22m rho^2 - a pphi - a^2 rho^2m
Vamos simplificar termo a termo.

Passo 15

Após simplificações, chegamos à expressão final da Hamiltoniana:
H = prho^22m + (pphi - a rho^2)^22m rho^2 + pz^22m

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é dada por
H = prho^22m + (pphi - a rho^2)^22m rho^2 + pz^22m

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