Um sistema físico é descrito pela lagragiana
onde são as coordenadas cilíndricas e uma constante. determine a Hamiltoniana,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Lagrangiana que descreve um sistema físico usando coordenadas cilíndricas . Nosso objetivo aqui é encontrar a Hamiltoniana desse sistema. Para isso, vamos precisar entender de mecânica clássica, especificamente como passar da Lagrangiana para a Hamiltoniana usando momentos conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a Hamiltoniana é dada por:
Aqui, são os momentos conjugados associados às coordenadas generalizadas , que no nosso caso são , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando os momentos conjugados para cada coordenada. O momento conjugado para uma coordenada é definido por:
Então, vamos calcular , e a partir da Lagrangiana dada.

Passo 4

Calculando :
Isso porque a única parte da Lagrangiana que depende de é .

Passo 5

Agora, calculando :
Observe que a derivada da parte em relação a .

Passo 6

Em seguida, calculando :
Assim como para , a derivada é direta da parte cinética .

Passo 7

Agora que temos os momentos conjugados, precisamos expressar as velocidades , e em função de , e .
Para e :

Passo 8

Para , resolvemos a expressão de :

Passo 9

Agora, substituímos essas expressões na fórmula da Hamiltoniana:
Substituindo as velocidades:

Passo 10

Vamos simplificar cada termo:
Agora, precisamos substituir a Lagrangiana na expressão.

Passo 11

Relembrando a Lagrangiana:
Substituindo as velocidades:

Passo 12

Simplificando a expressão de :
Agora, substituímos de volta na expressão de .

Passo 13

Substituindo na equação de :

Passo 14

Simplificando a expressão:
Vamos simplificar termo a termo.

Passo 15

Após simplificações, chegamos à expressão final da Hamiltoniana:

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é dada por

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