Um sistema físico é descrito pela lagragiana
onde
são as coordenadas cilíndricas e
uma constante. determine a Hamiltoniana,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Lagrangiana que descreve um sistema físico usando coordenadas cilíndricas
. Nosso objetivo aqui é encontrar a Hamiltoniana desse sistema. Para isso, vamos precisar entender de mecânica clássica, especificamente como passar da Lagrangiana para a Hamiltoniana usando momentos conjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a Hamiltoniana
é dada por:
Aqui,
são os momentos conjugados associados às coordenadas generalizadas
, que no nosso caso são
,
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando os momentos conjugados para cada coordenada. O momento conjugado
para uma coordenada
é definido por:
Então, vamos calcular
,
e
a partir da Lagrangiana dada.
Passo 4
Calculando
:
Isso porque a única parte da Lagrangiana que depende de
é
.
Passo 5
Agora, calculando
:
Observe que a derivada da parte
em relação a
dá
.
Passo 6
Em seguida, calculando
:
Assim como para
, a derivada é direta da parte cinética
.
Passo 7
Agora que temos os momentos conjugados, precisamos expressar as velocidades
,
e
em função de
,
e
.
Para
e
:
Passo 8
Para
, resolvemos a expressão de
:
Passo 9
Agora, substituímos essas expressões na fórmula da Hamiltoniana:
Substituindo as velocidades:
Passo 10
Vamos simplificar cada termo:
Agora, precisamos substituir a Lagrangiana
na expressão.
Passo 11
Relembrando a Lagrangiana:
Substituindo as velocidades:
Passo 12
Simplificando a expressão de
:
Agora, substituímos
de volta na expressão de
.
Passo 13
Substituindo
na equação de
:
Passo 14
Simplificando a expressão:
Vamos simplificar termo a termo.
Passo 15
Após simplificações, chegamos à expressão final da Hamiltoniana:
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é dada por