Uma haste de aço de 2,2 m de comprimento não pode sofrer estiramento maior que 1,2 mm quando sujeitada a uma força de tração de 8,5 kN. Sabendo que E=200 GPa, determine (a) o menor diâmetro possível que poderá ser usado, (b) a tensão normal correspondente na haste.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve conceitos de mecânica dos materiais, especificamente de deformação e tensão em materiais submetidos a forças. Precisamos determinar:
(a) O menor diâmetro possível da haste de aço.
(b) A tensão normal correspondente na haste.
Para isso, vamos utilizar as fórmulas relacionadas à deformação linear e à tensão em materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a haste não pode sofrer um estiramento maior que 1,2 mm. Isso está relacionado à deformação que ocorre quando uma força é aplicada.
A deformação De é dada por:
De
onde:
  • F é a força aplicada,
  • L é o comprimento original da haste,
  • A é a área da seção transversal,
  • E é o módulo de elasticidade do material.
Queremos encontrar o diâmetro mínimo d que permite que De.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a área A:
A = F cdot LE cdot De
Agora, substituímos os valores dados:
  • F = 8,5 kN = 8500 N
  • L = 2,2 m
  • E = 200 GPa = 200 times 10^9 Pa
  • De
Substituindo na fórmula:
A = 8500 times 2,2200 times 10^9 times 0,0012

Passo 4

Calculando o valor de A:
A = 18700200 times 10^9 times 0,0012 = 18700240 times 10^6 = 7,7917 times 10^-5 m^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar o diâmetro d a partir da área A. A área da seção transversal de uma haste circular é:
A = pi d^24
Rearranjando para encontrar d:
d = raiz4Api
Substituindo o valor de A:
d = raiz4 times 7,7917 times 10^-5pi approx raiz3,1167 times 10^-43,1416 approx raiz9,92 times 10^-5 approx 0,00996 m = 9,96 mm

Passo 6

Agora, para a parte (b), vamos calcular a tensão normal sigma na haste. A tensão é dada por:
sigma = FA
Usando o valor de A que já calculamos:
sigma = 85007,7917 times 10^-5 approx 1,091 times 10^8 Pa = 109,1 MPa

Resposta

(a) O menor diâmetro possível da haste é aproximadamente 10,0 mm.
(b) A tensão normal correspondente na haste é de aproximadamente 109,1 MPa.

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