Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To .
Dados:
e qg
.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura.
Dados:
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura.
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos uma haste cilíndrica oca que gera calor de forma uniforme no seu interior. As temperaturas na superfície interna e externa são
e
, respectivamente. Os dados fornecidos são os raios interno
cm, raio externo
cm, condutividade térmica
e geração de calor
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura
ao longo do raio. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor com geração de calor em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para estado estacionário com geração de calor interna. A equação é dada por:
Aqui,
é o raio,
é a temperatura,
é a condutividade térmica, e
é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Dividindo por
:
Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, para
m (convertendo cm para m),
:
Simplificando:
Portanto:
Segundo, para
m,
:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Logo:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A distribuição de temperatura ao longo do raio é dada por: