Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To .
Dados: ri=5 cm, rO=10 cm, Ti=40^circ C, To=60^circ C, k=100 W / m K e qg =2000 kW / m^3.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura.

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos uma haste cilíndrica oca que gera calor de forma uniforme no seu interior. As temperaturas na superfície interna e externa são e , respectivamente. Os dados fornecidos são os raios interno cm, raio externo cm, condutividade térmica e geração de calor . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo do raio. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor com geração de calor em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para estado estacionário com geração de calor interna. A equação é dada por:
1r ddr ( r dTdr ) + qgk = 0
Aqui, é o raio, é a temperatura, é a condutividade térmica, e é a taxa de geração de calor por unidade de volume.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ddr ( r dTdr ) + qgk r = 0 :
r dTdr = - qg2k r^2 + C1
Integrando em relação a dTdr = - qg2k r + C1r :
T(r) = - qg4k r^2 + C1 ln r + C2
Onde é a constante de integração.
Dividindo por :
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes 40 = - 2000 times 10^34 times 100 (0,05)^2 + C1 ln(0,05) + C2 e 40 = -12,5 + C1 ln(0,05) + C2 .
Primeiro, para 52,5 = C1 ln(0,05) + C2 (1) m (convertendo cm para m), 60 = - 2000 times 10^34 times 100 (0,10)^2 + C1 ln(0,10) + C2 :
60 = -50 + C1 ln(0,10) + C2
Simplificando:
110 = C1 ln(0,10) + C2 (2)
Portanto:
Segundo, para m, :
Simplificando:
Portanto:

Passo 5

Subtraindo a equação (1) da equação (2):
110 - 52,5 = C1 (ln(0,10) - ln(0,05))
57,5 = C1 ln(2)
Logo:
C1 = 57,5ln(2)
Substituindo 52,5 = 57,5ln(2) ln(0,05) + C2 na equação (1):
C2 = 52,5 - 57,5 ln(0,05)ln(2)

Resposta

A distribuição de temperatura ao longo do raio é dada por:
T(r) = - qg4k r^2 + 57,5ln 2 ln r + ( 52,5 - 57,5 ln 0,05ln 2 )

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