Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To .
Dados:
e qg
.
Qual a temperatura máxima? Qual a posição onde a temperatura é máxima?
Dados:
Qual a temperatura máxima? Qual a posição onde a temperatura é máxima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste de combustível de reator nuclear, que é basicamente um cilindro oco onde o calor é gerado de forma uniforme. As temperaturas nas superfícies interna e externa são dadas (Ti e To). A gente precisa descobrir qual é a temperatura máxima dentro dessa haste e em que posição ela ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Transferência de Calor em Condutores com Geração Interna, especificamente em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos geração de calor dentro de um material, a temperatura pode variar ao longo da posição. No caso de um cilindro oco, precisamos considerar a distribuição da temperatura radialmente. A equação geral de transferência de calor com geração interna para um cilindro em regime estacionário (temperatura não varia com o tempo) é:
Onde:
-
é a temperatura, -
é a posição radial, -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, -
é a condutividade térmica.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Agora, dividimos por
:
Integrando novamente:
Onde
e
são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno:
- Na superfície interna (
cm), a temperatura é C. - Na superfície externa (
cm), a temperatura é C.
Substituindo esses valores na equação de
:
Para
cm:
Para
cm:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituindo
na Equação 1:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a expressão completa para a temperatura:
Para encontrar a temperatura máxima, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Agora, substituímos
cm na equação de
:
Resposta
A temperatura máxima é de aproximadamente 113,0 °C e ocorre a 7,55 cm do centro da haste.