Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To .
Dados: ri=5 cm, rO=10 cm, Ti=40^circ C, To=60^circ C, k=100 W / m K e qg =2000 kW / m^3.
Qual a temperatura máxima? Qual a posição onde a temperatura é máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste de combustível de reator nuclear, que é basicamente um cilindro oco onde o calor é gerado de forma uniforme. As temperaturas nas superfícies interna e externa são dadas (Ti e To). A gente precisa descobrir qual é a temperatura máxima dentro dessa haste e em que posição ela ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Transferência de Calor em Condutores com Geração Interna, especificamente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos geração de calor dentro de um material, a temperatura pode variar ao longo da posição. No caso de um cilindro oco, precisamos considerar a distribuição da temperatura radialmente. A equação geral de transferência de calor com geração interna para um cilindro em regime estacionário (temperatura não varia com o tempo) é:
1r ddr ( r dTdr ) + qgk = 0
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição radial,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a condutividade térmica.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ddr ( r dTdr ) + qg rk = 0 :
r dTdr = -qg r^22k + C1
Integrando ambos os lados em relação a dTdr = -qg r2k + C1r :
T(r) = -qg r^24k + C1 ln(r) + C2
Agora, dividimos por :
Integrando novamente:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno:
  1. Na superfície interna ( 40 = -2000 times (5)^24 times 100 + C1 ln(5) + C2 cm), a temperatura é 40 = -2000 times 25400 + C1 ln(5) + C2 C.
  2. Na superfície externa ( 40 = -50000400 + C1 ln(5) + C2 cm), a temperatura é 40 = -125 + C1 ln(5) + C2 C.
Substituindo esses valores na equação de C1 ln(5) + C2 = 165 (Equação 1) :
Para 60 = -2000 times (10)^24 times 100 + C1 ln(10) + C2 cm:
60 = -2000 times 100400 + C1 ln(10) + C2
60 = -200000400 + C1 ln(10) + C2
60 = -500 + C1 ln(10) + C2
C1 ln(10) + C2 = 560 (Equação 2)
C1 (ln(10) - ln(5)) = 560 - 165 çã
Para C1 ln(2) = 395 cm:
C1 = 395ln(2) approx 3950.6931 approx 569.5
569.5 times ln(5) + C2 = 165
569.5 times 1.6094 + C2 = 165
916.0 + C2 = 165
C2 = 165 - 916.0 = -751.0 çã
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituindo na Equação 1:

Passo 5

Agora que temos T(r) = -2000 r^24 times 100 + 569.5 ln(r) - 751.0 e T(r) = -5 r^2 + 569.5 ln(r) - 751.0 , podemos escrever a expressão completa para a temperatura:
dTdr = -10 r + 569.5r = 0
-10 r + 569.5r = 0
Para encontrar a temperatura máxima, vamos derivar -10 r^2 + 569.5 = 0 em relação a 10 r^2 = 569.5 e igualar a zero:
r^2 = 56.95
r = raiz56.95 approx 7.55 cm
T(7.55) = -5 times (7.55)^2 + 569.5 ln(7.55) - 751.0
T(7.55) = -5 times 57.00 + 569.5 times 2.02 - 751.0
T(7.55) = -285.0 + 1149.0 - 751.0
T(7.55) = 113.0 °C
Agora, substituímos cm na equação de :

Resposta

A temperatura máxima é de aproximadamente 113,0 °C e ocorre a 7,55 cm do centro da haste.

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Na haste de combustível de reator nuclear é gerado calor de forma uniforme. Ela tem forma de um longo cilindro oco, com suas superfícies interna e externa respectivamente nas temperaturas Ti e To .
Dados: ri=5 cm, rO=10 cm, Ti=40^circ C, To=60^circ C, k=100 W / m K e qg =2000 kW / m^3.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura.
Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação k=0,06+0,0006 T, onde T é expressa em ^circ F e k em BTU/h ft ^circ F. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é 800^circ F e na externa, 200^circ F.
Se o coeficiente de transferência de calor na superfície externa no cilindro for 3 BTU / htt^circ F, calcule a temperatura do ar na parte externa do mesmo.
Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
qg=q0 cos (a x)
onde q0 é o calor gerado por volume unitário no centro da parede ( x=0 ) e a é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de Tw. Derive uma expressão para a perda total de calor por unidade de área da superfície da parede.
Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação k=0,06+0,0006 T, onde T é expressa em ^circ F e k em BTU/h ft ^circ F. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é 800^circ F e na externa, 200^circ F.
Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.