Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação k=0,06+0,0006 T, onde T é expressa em ^circ F e k em BTU/h ft ^circ F. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é 800^circ F e na externa, 200^circ F.
Se o coeficiente de transferência de calor na superfície externa no cilindro for 3 BTU / htt^circ F, calcule a temperatura do ar na parte externa do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro oco longo com condutividade térmica que varia com a temperatura, dada pela fórmula , onde está em °F. O cilindro tem raio interno de 5 polegadas e externo de 10 polegadas. A temperatura na superfície interna é e na externa é . Queremos achar a temperatura do ar na parte externa, sabendo que o coeficiente de transferência de calor na superfície externa é de . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os raios de polegadas para pés, porque as unidades de condutividade térmica estão em pés. Sabemos que 1 pé = 12 polegadas.
r1 = 5 , po<=gadas12 = 0,4167 , ft
r2 = 10 , po<=gadas12 = 0,8333 , ft

Passo 3

Agora, vamos lembrar que em estado estacionário, a transferência de calor através do cilindro pela condução é igual à transferência por convecção na superfície externa. A equação geral para condução de calor em coordenadas cilíndricas é:
q = 2 pi L k (T1 - T2)ln(r2/r1)
Como não temos o comprimento e ele se cancela na igualdade com a convecção, podemos simplificar.

Passo 4

A transferência de calor por convecção é dada por:
q = h cdot A cdot (T2 - Tar)
onde A = 2 pi r2 L é o coeficiente de transferência de calor, é a área superficial externa do cilindro, é a temperatura na superfície externa, e é a temperatura do ar que queremos encontrar.
A área superficial externa de um cilindro é:

Passo 5

Igualando as duas expressões de 2 pi L k (T1 - T2)ln(r2/r1) = h cdot 2 pi r2 L (T2 - Tar) :
k (T1 - T2)ln(r2/r1) = h r2 (T2 - Tar)
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 6

Agora, precisamos considerar que Tm = T1 + T22 = 800 + 2002 = 500^circ F depende da temperatura. Para simplificar, vamos assumir que k = 0,06 + 0,0006 times 500 = 0,06 + 0,3 = 0,36 , BTU/(h cdot ft cdot ^circ F) pode ser aproximado usando a temperatura média :
Então,

Passo 7

Substituindo os valores na equação simplificada:
0,36 times (800 - 200)ln(0,8333/0,4167) = 3 times 0,8333 times (200 - Tar)
Calculando passo a passo:
800 - 200 = 600
ln(0,8333/0,4167) = ln(2) approx 0,6931
0,36 times 6000,6931 approx 2160,6931 approx 311,8
3 times 0,8333 approx 2,5
Então:
311,8 = 2,5 times (200 - Tar)

Passo 8

Agora, resolvemos para 200 - Tar = 311,82,5 approx 124,72 :
Tar = 200 - 124,72 approx 75,28^circ F

Resposta

A temperatura do ar na parte externa do cilindro é aproximadamente .

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