Uma parede plana, com 15 cm de espessura, tem uma condutividade térmica fornecida pela relação k=2+0,0005 T W / m K, onde T é expressa em kelvin. Se uma superfície da parede for mantida a 150^circ C e a outra a 50^circ C, determine a taxa de transferência de calor por metro quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma parede plana com 15 cm de espessura. A condutividade térmica dela depende da temperatura e é dada por W/m·K, onde está em Kelvin. Uma das superfícies está a e a outra a . Nosso objetivo é encontrar a taxa de transferência de calor por metro quadrado. Para isso, vamos usar os conceitos de condução de calor e integrar a condutividade térmica variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a fórmula da condutividade está em Kelvin.
T1 = 150^circ C + 273,15 = 423,15,K
T2 = 50^circ C + 273,15 = 323,15,K

Passo 3

A condução de calor em regime estacionário é dada pela lei de Fourier:
q = -k(T) dTdx
Aqui, é a taxa de transferência de calor por metro quadrado, é a condutividade térmica que varia com a temperatura, e é o gradiente de temperatura.

Passo 4

Como a condutividade térmica q = - De varia com a temperatura, precisamos integrar a expressão para encontrar q = - T1 - T2 integralT2^T1 12 + 0,0005,T dT . A equação fica:
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular a integral no denominador:
integral 12 + 0,0005,T dT = 10,0005 ln|2 + 0,0005,T| + C
Avaliação entre integralT2^T1 12 + 0,0005,T dT = 10,0005 [ ln(2 + 0,0005cdot423,15) - ln(2 + 0,0005cdot323,15) ] e 2 + 0,0005 cdot 423,15 approx 2,211575 :
2 + 0,0005 cdot 323,15 approx 2,161575
Calculando os valores dentro do logaritmo:
integralT2^T1 12 + 0,0005,T dT approx 10,0005 [ ln(2,211575) - ln(2,161575) ] approx 2000 cdot (0,793 - 0,773) = 2000 cdot 0,02 = 40
Então:

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula de q = -423,15 - 323,1540 = -10040 = -2,5,W/m^2 :
O sinal negativo indica a direção do fluxo de calor, mas estamos interessados na taxa, então consideramos o valor absoluto.

Resposta

A taxa de transferência de calor por metro quadrado é de aproximadamente .

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