Uma haste com comprimento L oscila como um pendulo físico, com eixo no ponto O. Deduz uma expressão para o período do pendulo em termos de L e x, a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do pendulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a expressão do período de oscilação de um pêndulo físico. Temos uma haste de comprimento que oscila em torno de um ponto de suspensão . Além disso, sabemos que a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do pêndulo é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de pêndulos físicos e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período T = 2pi raizIm g h de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
Aqui, é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão, é a massa do pêndulo, é a aceleração da gravidade, e é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa, que no nosso caso é .

Passo 3

Para encontrar o momento de inércia I = Icm + m x^2 em relação ao ponto de suspensão Icm = 112 m L^2 , usamos o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema diz que:
Onde é o momento de inércia em relação ao centro de massa. Para uma haste uniforme de comprimento , o momento de inércia em relação ao centro de massa é:

Passo 4

Agora, substituímos I = 112 m L^2 + m x^2 na fórmula do momento de inércia total:

Passo 5

Voltando à fórmula do período, substituímos T = 2pi raiz112 m L^2 + m x^2m g x e por :

Passo 6

Perceba que a massa T = 2pi raiz112 L^2 + x^2g x se cancela na fração:

Resposta

Portanto, a expressão para o período T = 2pi raiz112 L^2 + x^2g x do pêndulo é:

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