A posição angular da linha de referência de uma roda girando é dado por:
theta=t^3-27 t+4
onde t é dado em segundo e theta em radianos. Teremos em algum momento omega(t)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição angular de uma roda que está girando, dada pela função , onde é o tempo em segundos e é o ângulo em radianos. A pergunta é: existe algum momento em que a velocidade angular é igual a zero? Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade angular a partir da posição angular.

Passo 2

Primeiro, a velocidade angular omega(t) = dthetadt é a derivada da posição angular em relação ao tempo . Ou seja:
Vamos calcular essa derivada usando as regras básicas de derivação.

Passo 3

Vamos derivar omega(t) = 3t^2 - 27 termo por termo:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é .
  3. A derivada de uma constante, como , é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, queremos saber se existe algum tempo 3t^2 - 27 = 0 em que 3t^2 = 27 t^2 = 9 t = pm 3 . Ou seja, vamos resolver a equação:
Vamos isolar :
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos e ficamos com segundos.

Resposta

Sim, a velocidade angular é igual a zero quando segundos.

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