Uma haste fina o homogènea de massa M=1,00 kg e comprimento L=1,00 m é mantida verticalmente com uma das extremidades conectada a uma dobradiça de baixo atrito fixa a um piso horizontal, e a baste é liberada do repouso fazendo com que a haste gire no plano vertical. Determine momento de finéreia da haste em relação a dobradiça.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma haste fina e homogênea com massa M = 1,00,kg e comprimento L = 1,00,m. Ela está presa verticalmente por uma dobradiça e é solta para girar no plano vertical. Nosso objetivo é encontrar o momento de inércia dessa haste em relação à dobradiça. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para objetos rígidos que giram em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Em termos simples, o momento de inércia mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar ou pará-lo.

Passo 3

Para calcular o momento de inércia, usamos a fórmula geral:
I = integral r^2 , dm
Aqui, I é o momento de inércia, r é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação, e a integral soma essas contribuições ao longo de todo o objeto.

Passo 4

Como a haste é homogênea, a massa está distribuída de forma uniforme. Podemos expressar um pequeno elemento de massa dm em termos da densidade linear lambda, onde:
lambda = ML
Então,
dm = lambda , dx = ML , dx

Passo 5

Vamos definir um sistema de coordenadas onde o eixo de rotação está na posição x = 0 (a dobradiça) e o comprimento da haste vai até x = L. Substituindo dm na fórmula do momento de inércia:
I = integral0^L x^2 cdot ML , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
I = ML integral0^L x^2 , dx = ML [ x^33 ]0^L = ML cdot L^33 = 13 M L^2

Resposta

O momento de inércia da haste em relação à dobradiça é:
I = 13 M L^2 = 13 times 1,00,kg times (1,00,m)^2 = 13,kg cdot m^2

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