Uma haste fina o homogènea de massa e comprimento é mantida verticalmente com uma das extremidades conectada a uma dobradiça de baixo atrito fixa a um piso horizontal, e a baste é liberada do repouso fazendo com que a haste gire no plano vertical. Determine momento de finéreia da haste em relação a dobradiça.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma haste fina e homogênea com massa e comprimento . Ela está presa verticalmente por uma dobradiça e é solta para girar no plano vertical. Nosso objetivo é encontrar o momento de inércia dessa haste em relação à dobradiça. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para objetos rígidos que giram em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Em termos simples, o momento de inércia mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar ou pará-lo.

Passo 3

Para calcular o momento de inércia, usamos a fórmula geral:
Aqui, é o momento de inércia, é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação, e a integral soma essas contribuições ao longo de todo o objeto.

Passo 4

Como a haste é homogênea, a massa está distribuída de forma uniforme. Podemos expressar um pequeno elemento de massa em termos da densidade linear , onde:
Então,

Passo 5

Vamos definir um sistema de coordenadas onde o eixo de rotação está na posição (a dobradiça) e o comprimento da haste vai até . Substituindo na fórmula do momento de inércia:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:

Resposta

O momento de inércia da haste em relação à dobradiça é:

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pontos) Calcule para a reação
a .