Uma haste em forma de cilindro feita de aço, com
de diâmetro, a
, é rapidamente imersa em um líquido a
, com
. Determine o tempo necessário para o centro térmico da haste aquecer até
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma haste cilíndrica de aço com diâmetro de 0,6 cm inicialmente a 38 °C que é mergulhada rapidamente em um líquido a 93 °C. Queremos descobrir quanto tempo leva para o centro da haste aquecer até 88 °C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o método de capacidade térmica concentrada (também conhecido como método lumped). Precisaremos das propriedades térmicas do aço, como condutividade térmica, densidade e capacidade calorífica.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o método de capacidade térmica concentrada. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi):
Onde:
-
(coeficiente de transferência de calor) -
é o comprimento característico. Para um cilindro, geralmente usamos o raio ( ) como comprimento característico. -
(condutividade térmica do aço)
Primeiro, vamos converter o diâmetro para raio:
Agora, calculando Bi:
Como
, podemos aplicar o método de capacidade térmica concentrada.
Passo 3
Vamos usar a equação do método de capacidade térmica concentrada:
Onde:
-
(temperatura desejada no centro) -
(temperatura do líquido) -
-
-
é a área superficial da haste -
é o volume da haste -
é a densidade do aço ( ) -
é a capacidade calorífica do aço ( )
Primeiro, vamos calcular a área superficial
e o volume
da haste. Supondo que a haste tenha um comprimento
:
No entanto, como estamos interessados no tempo para o centro aquecer, o comprimento
cancela nas fórmulas. Podemos simplificar a equação para:
Rearranjando para encontrar
:
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo os valores:
Calculando dentro do logaritmo:
Portanto:
Convertendo para minutos:
Então, o tempo necessário para o centro da haste aquecer até 88 °C é aproximadamente 5,2 minutos.
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.