Uma haste em forma de cilindro feita de aço, com 0,6 cm de diâmetro, a 38^circ C, é rapidamente imersa em um líquido a 93^circ C, com h=110 W /(m^2 ^circ C). Determine o tempo necessário para o centro térmico da haste aquecer até 88^circ C (k aco =4 3 W / m^0 C).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma haste cilíndrica de aço com diâmetro de 0,6 cm inicialmente a 38 °C que é mergulhada rapidamente em um líquido a 93 °C. Queremos descobrir quanto tempo leva para o centro da haste aquecer até 88 °C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o método de capacidade térmica concentrada (também conhecido como método lumped). Precisaremos das propriedades térmicas do aço, como condutividade térmica, densidade e capacidade calorífica.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o método de capacidade térmica concentrada. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi):
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • r = 0,6 , cm2 = 0,3 , cm = 0,003 , m (coeficiente de transferência de calor)
  • Bi = 110 times 0,00343 approx 0,0077 é o comprimento característico. Para um cilindro, geralmente usamos o raio ( ) como comprimento característico.
  • (condutividade térmica do aço)
Primeiro, vamos converter o diâmetro para raio:
Agora, calculando Bi:
Como , podemos aplicar o método de capacidade térmica concentrada.

Passo 3

Vamos usar a equação do método de capacidade térmica concentrada:
T(t) = Tinfty + (Tinicial - Tinfty) cdot e^-hArho V cp t
Onde:
  • A = 2pi r L + 2pi r^2 (área superficial de um cilindro) (temperatura desejada no centro)
  • V = pi r^2 L (volume de um cilindro) (temperatura do líquido)
  • T(t) = Tinfty + (Tinicial - Tinfty) cdot e^-h rk t
  • T(t) - TinftyTinicial - Tinfty = e^-h rk t
  • ln(T(t) - TinftyTinicial - Tinfty) = -h rk t é a área superficial da haste
  • t = -kh r ln(T(t) - TinftyTinicial - Tinfty) é o volume da haste
  • é a densidade do aço ( )
  • é a capacidade calorífica do aço ( )
Primeiro, vamos calcular a área superficial e o volume da haste. Supondo que a haste tenha um comprimento :
á
No entanto, como estamos interessados no tempo para o centro aquecer, o comprimento cancela nas fórmulas. Podemos simplificar a equação para:
Rearranjando para encontrar :
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo os valores:
t = -43110 times 0,003 ln(88 - 9338 - 93)
Calculando dentro do logaritmo:
88 - 9338 - 93 = -5-55 = 111
Portanto:
t = -430,33 ln(111) approx -130,3 times (-2,3979) approx 312,3 , segundos
Convertendo para minutos:
312,360 approx 5,2 , minutos
Então, o tempo necessário para o centro da haste aquecer até 88 °C é aproximadamente 5,2 minutos.

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