Uma das operações na fabricação de esferas de vidro ( k=1,4 W / m ^circ C, Cp=750 J / kg ^circ C ) é 0 resfriamento das esferas em um resfriador de contato direto. A velocidade do ar no resfriador é praticamente nula e as esferas, com diâmetro igual a 0,5 mm e com temperatura inicial de 500^circ C, são lançadas no topo do resfriador. A velocidade descendente das esferas é constante e igual a 3,8 m/s (este valor é atingido numa curtíssima distância da seção de lançamento das esferas). O ar no resfriador (a fonte fria do processo de resfriamento) apresenta temperatura constante e igual a 20^circ C e o coeficiente de transferência de calor entre o ar e as esferas é igual a 324 W / m^2 ^circ C. Qual deve ser a altura da seção de alimentação das esferas, em relação a seção de descarga, para que as esferas sejam descarregadas com temperatura no centro igual a 40^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre resfriamento de esferas de vidro. A gente vai usar conceitos de transferência de calor, especificamente convecção e condução térmica. Precisamos calcular a altura do resfriador para que o centro das esferas esfrie de 500°C para 40°C. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades térmicas das esferas e do ar, além da velocidade de descida das esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões das esferas. O diâmetro é de 0,5 mm, então o raio r = 0,5 , mm2 = 0,25 , mm = 0,00025 , m é metade disso:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o tempo que a esfera leva para descer pelo resfriador. Sabemos que a velocidade t = Lv é constante em 3,8 m/s. Vamos chamar a altura do resfriador de . O tempo que a esfera leva para descer essa altura é:
Mas ainda não sabemos , então vamos focar em encontrar o tempo necessário para a esfera esfriar.

Passo 4

Para encontrar o tempo de resfriamento, vamos usar a equação de resfriamento de Newton combinada com a condução térmica interna. A temperatura no centro da esfera diminui conforme:
T(t) = Tinfty + (T0 - Tinfty) exp(-hArho Cp V t)
Onde:
  • é a temperatura no tempo
  • é a temperatura do ar (20°C)
  • é a temperatura inicial da esfera (500°C)
  • é o coeficiente de transferência de calor (324 W/m²°C)
  • é a área de superfície da esfera
  • é a densidade do vidro
  • é o calor específico (750 J/kg°C)
  • é o volume da esfera
Vamos reorganizar para encontrar .

Passo 5

Primeiro, calculamos a variação de temperatura desejada no centro:
T(t) = 40°C = 20°C + (500°C - 20°C) exp(-hArho Cp V t)
Isolando a exponencial:
40 - 20500 - 20 = exp(-hArho Cp V t)
20480 = exp(-hArho Cp V t)
124 = exp(-hArho Cp V t)
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(124) = -hArho Cp V t
t = -rho Cp VhA ln(124)

Passo 6

Agora, precisamos dos valores de V = 43 pi r^3 = 43 pi (0,00025)^3 approx 6,54 times 10^-11 , m^3 (densidade do vidro). Supondo que a densidade do vidro seja aproximadamente A = 4 pi r^2 = 4 pi (0,00025)^2 approx 7,85 times 10^-7 , m^2 .
Calculando e :

Passo 7

Substituindo os valores na equação do tempo:
t = -2500 times 750 times 6,54 times 10^-11324 times 7,85 times 10^-7 ln(124)
Primeiro, calculamos o coeficiente:
2500 times 750 times 6,54 times 10^-11324 times 7,85 times 10^-7 approx 1,22625 times 10^-52,544 times 10^-4 approx 0,0481 , s
Agora, calculando o logaritmo:
ln(124) approx -3,178
Portanto:
t = -0,0481 times (-3,178) approx 0,1527 , s

Passo 8

Com o tempo de resfriamento L = v times t = 3,8 times 0,1527 approx 0,580 , m , podemos encontrar a altura usando a velocidade:

Resposta

A altura do resfriador deve ser aproximadamente 0,58 metros para que as esferas sejam descarregadas com a temperatura no centro igual a 40°C.

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