Uma das operações na fabricação de esferas de vidro (
) é 0 resfriamento das esferas em um resfriador de contato direto. A velocidade do ar no resfriador é praticamente nula e as esferas, com diâmetro igual a
e com temperatura inicial de
, são lançadas no topo do resfriador. A velocidade descendente das esferas é constante e igual a 3,8 m/s (este valor é atingido numa curtíssima distância da seção de lançamento das esferas). O ar no resfriador (a fonte fria do processo de resfriamento) apresenta temperatura constante e igual a
e o coeficiente de transferência de calor entre o ar e as esferas é igual a
. Qual deve ser a altura da seção de alimentação das esferas, em relação a seção de descarga, para que as esferas sejam descarregadas com temperatura no centro igual a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre resfriamento de esferas de vidro. A gente vai usar conceitos de transferência de calor, especificamente convecção e condução térmica. Precisamos calcular a altura do resfriador para que o centro das esferas esfrie de 500°C para 40°C. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades térmicas das esferas e do ar, além da velocidade de descida das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões das esferas. O diâmetro é de 0,5 mm, então o raio
é metade disso:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o tempo que a esfera leva para descer pelo resfriador. Sabemos que a velocidade
é constante em 3,8 m/s. Vamos chamar a altura do resfriador de
. O tempo
que a esfera leva para descer essa altura é:
Mas ainda não sabemos
, então vamos focar em encontrar o tempo necessário para a esfera esfriar.
Passo 4
Para encontrar o tempo de resfriamento, vamos usar a equação de resfriamento de Newton combinada com a condução térmica interna. A temperatura no centro da esfera diminui conforme:
Onde:
-
é a temperatura no tempo -
é a temperatura do ar (20°C) -
é a temperatura inicial da esfera (500°C) -
é o coeficiente de transferência de calor (324 W/m²°C) -
é a área de superfície da esfera -
é a densidade do vidro -
é o calor específico (750 J/kg°C) -
é o volume da esfera
Vamos reorganizar para encontrar
.
Passo 5
Primeiro, calculamos a variação de temperatura desejada no centro:
Isolando a exponencial:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Agora, precisamos dos valores de
(densidade do vidro). Supondo que a densidade do vidro seja aproximadamente
.
Calculando
e
:
Passo 7
Substituindo os valores na equação do tempo:
Primeiro, calculamos o coeficiente:
Agora, calculando o logaritmo:
Portanto:
Passo 8
Com o tempo de resfriamento
, podemos encontrar a altura
usando a velocidade:
Resposta
A altura do resfriador deve ser aproximadamente 0,58 metros para que as esferas sejam descarregadas com a temperatura no centro igual a 40°C.
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de diâmetro, a
, é rapidamente imersa em um líquido a
, com
. Determine o tempo necessário para o centro térmico da haste aquecer até
.