(F) Uma linha de transmissão de alta voltagem é atravessada por uma corrente de 1000 A. Ela possui um comprimento de 200 km e um diâmetro de 2 cm . Se o material condutor do fio é o cobre, cuja densidade de elétrons vale aproximadamente 8 times 10^28 m^-3, determine o tempo necessário para um elétron atravessar completamente o cabo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de transmissão de alta voltagem com algumas características específicas: uma corrente de 1000 A passa por ela, o comprimento é de 200 km, o diâmetro é de 2 cm e o material é cobre, cuja densidade de elétrons é de aproximadamente . O objetivo aqui é descobrir quanto tempo um elétron leva para percorrer toda a extensão do cabo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de corrente elétrica, densidade de elétrons e velocidade de deriva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do cabo. Sabemos que a área A = pi (d2)^2 de um círculo é dada por:
A = pi (0,022)^2 = pi (0,01)^2 = pi times 0,0001 approx 0,000314 , m^2
onde é o diâmetro. Aqui, . Assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade de deriva I = n times A times e times vd dos elétrons. A fórmula para a corrente elétrica vd = In times A times e é:
onde:
  • é a corrente (1000 A),
  • é a densidade de elétrons ( ),
  • é a área da seção transversal,
  • é a carga elementar ( ),
  • é a velocidade de deriva que queremos encontrar.
Vamos reorganizar a fórmula para resolver :

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
vd = 10008 times 10^28 times 0,000314 times 1,6 times 10^-19
Primeiro, vamos calcular o denominador:
8 times 10^28 times 0,000314 times 1,6 times 10^-19 = 8 times 0,000314 times 1,6 times 10^28 - 19 = 8 times 0,000314 times 1,6 times 10^9 approx 4,0192 times 10^6
Então:
vd = 10004,0192 times 10^6 approx 2,488 times 10^-4 , m/s

Passo 5

Agora que temos a velocidade de deriva, vamos calcular o tempo t = Lvd que um elétron leva para percorrer os 200 km do cabo. A fórmula é:
onde .

Passo 6

Substituindo os valores:
t = 200 times 10^32,488 times 10^-4 = 200 times 10^30,0002488 approx 8,04 times 10^8 , segundos
Para transformar isso em anos, dividimos por t approx 8,04 times 10^83,154 times 10^7 approx 25,5 , anos segundos por ano:

Resposta

Um elétron leva aproximadamente 25,5 anos para atravessar completamente o cabo de 200 km.

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