Uma haste isolante com densidade de carga linear e densidade de massa linear é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme direcionado perpendicularmente à haste.
Determine a velocidade escalar da haste após esta ter se deslocado 2,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido: Temos uma haste isolante com densidade de carga linear de e densidade de massa linear de . Ela é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme de que está perpendicular à haste. Precisamos determinar a velocidade da haste após ela ter se deslocado .
Conteúdos envolvidos:
  • Força elétrica sobre cargas
  • Segunda Lei de Newton (Relação entre força, massa e aceleração)
  • Movimento com aceleração constante
O que vamos precisar:
  • Calcular a força elétrica que atua na haste
  • Determinar a aceleração da haste usando a Segunda Lei de Newton
  • Usar as equações do movimento uniformemente acelerado para encontrar a velocidade após 2 metros

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força elétrica que age na haste. A força elétrica sobre uma carga em um campo elétrico é dada por:
Onde:
  • é a densidade de carga linear,
  • é o campo elétrico,
  • é o comprimento da haste.
No entanto, como o comprimento não é fornecido, vamos considerar que a força total é distribuída ao longo da haste. Mas para fins de cálculo de aceleração, precisamos considerar a força por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a força com a aceleração usando a Segunda Lei de Newton. A Segunda Lei de Newton nos diz que:
Onde:
  • é a força resultante,
  • é a massa,
  • é a aceleração.
Como a força e a massa também são distribuições lineares, podemos escrever:
Isolando a aceleração :

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na equação para encontrar a aceleração:
Agora substituímos na fórmula da aceleração:
Como e , temos:

Passo 5

Agora que temos a aceleração, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para encontrar a velocidade final após a haste ter se deslocado .
Sabemos que a haste parte do repouso, então a velocidade inicial .
A equação que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento é:
Como , a equação simplifica para:

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:

Resposta

A velocidade escalar da haste após deslocar é de .

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