Uma haste isolante semi-infinita é portadora de uma carga constante, por unidade de comprimento, lambda. Encontre o campo E no ponto P da figura e mostre que a sua direção é independente da distância y. Resp. E=raiz2 lambda / 4 pi varepsilon0 R (Ex=Ey=lambda / 4 pi varepsilon 0 R)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Aqui, temos uma haste isolante que se estende infinitamente em uma direção, ou seja, é semi-infinita. Essa haste possui uma carga constante por unidade de comprimento, representada por lambda. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico E no ponto P da figura fornecida e demonstrar que a direção desse campo é independente da distância y.
Conteúdo da Matéria:
  • Eletrostática: Estudo dos campos elétricos gerados por cargas estáticas.
  • Campo Elétrico de uma Distribuição Contínua de Carga: Analisar como calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga contínua, como uma haste carregada.
O que Vamos Precisar:
  • Conhecimento sobre o cálculo de integrais para somar contribuições de pequenos elementos de carga.
  • Entender a decomposição vetorial para somar os componentes do campo elétrico.

Passo 2

Configuração do Problema e Escolha das Coordenadas
Vamos considerar que a haste semi-infinita está alinhada ao eixo x, começando de x = 0 e indo para x = +infty. O ponto P onde queremos calcular o campo elétrico está localizado a uma distância R no eixo y, ou seja, em (0, R).
Isso significa que cada elemento de carga dq na haste está localizado em uma posição x ao longo do eixo x, e a distância do elemento dq até o ponto P será r = raizx^2 + R^2.

Passo 3

Expressão do Elemento Diferencial de Campo Elétrico
A carga infinitesimal dq em um ponto x da haste é dada por:
dq = lambda , dx
Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a essa carga no ponto P é:
dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r
Onde:
  • r = raizx^2 + R^2 é a distância entre dq e P.
  • r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

Decomposição do Campo Elétrico em Componentes
O vetor campo elétrico dE tem componentes nas direções x e y. Vamos decompor dE:
dEx = dE cdot costheta
dEy = dE cdot sintheta
Onde theta é o ângulo que r faz com o eixo x. Pelo triângulo formado:
costheta = xr = xraizx^2 + R^2
sintheta = Rr = Rraizx^2 + R^2
Substituindo na expressão de dE:
dEx = 14pi varepsilon0 lambda , dx(x^2 + R^2) cdot xraizx^2 + R^2 = lambda4pi varepsilon0 x , dx(x^2 + R^2)^3/2
dEy = 14pi varepsilon0 lambda , dx(x^2 + R^2) cdot Rraizx^2 + R^2 = lambda4pi varepsilon0 R , dx(x^2 + R^2)^3/2

Passo 5

Integração das Componentes ao Longo da Haste Semi-Infinita
Para encontrar o campo elétrico total, precisamos integrar dEx e dEy de x = 0 a x = +infty.
Integrando dEx:
Ex = lambda4pi varepsilon0 integral0^infty x , dx(x^2 + R^2)^3/2
Fazendo a substituição u = x^2 + R^2, du = 2x , dx, então:
Ex = lambda4pi varepsilon0 cdot [ -1raizx^2 + R^2 ]0^infty = lambda4pi varepsilon0 R
Integrando dEy:
Ey = lambda4pi varepsilon0 integral0^infty R , dx(x^2 + R^2)^3/2
Fazendo a substituição u = x^2 + R^2, du = 2x , dx, e considerando que a integral é padrão:
Ey = lambda4pi varepsilon0 cdot [ 1R ] = lambda4pi varepsilon0 R

Passo 6

Determinação da Magnitude e Direção do Campo Elétrico
Agora que temos as componentes Ex e Ey, podemos encontrar a magnitude total do campo elétrico E no ponto P:
E = raizEx^2 + Ey^2 = raiz(lambda4pi varepsilon0 R)^2 + (lambda4pi varepsilon0 R)^2 = lambda4pi varepsilon0 R raiz2 = raiz2 lambda4pi varepsilon0 R
Independência da Direção em Relação a y
Observamos que as componentes Ex e Ey são iguais e independem de R. Isso mostra que a direção do campo elétrico é fixa e não depende da distância y.

Resposta

O campo elétrico no ponto P é dado por:
E = raiz2 , lambda4 pi varepsilon0 R (Ex=Ey=lambda4 pi varepsilon0 R)

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