Uma haste isolante semi-infinita é portadora de uma carga constante, por unidade de comprimento,
. Encontre o campo
no ponto
da figura e mostre que a sua direção é independente da distância y. Resp.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Aqui, temos uma haste isolante que se estende infinitamente em uma direção, ou seja, é semi-infinita. Essa haste possui uma carga constante por unidade de comprimento, representada por
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
no ponto
da figura fornecida e demonstrar que a direção desse campo é independente da distância
.
Conteúdo da Matéria:
- Eletrostática: Estudo dos campos elétricos gerados por cargas estáticas.
- Campo Elétrico de uma Distribuição Contínua de Carga: Analisar como calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga contínua, como uma haste carregada.
O que Vamos Precisar:
- Conhecimento sobre o cálculo de integrais para somar contribuições de pequenos elementos de carga.
- Entender a decomposição vetorial para somar os componentes do campo elétrico.
Passo 2
Configuração do Problema e Escolha das Coordenadas
Vamos considerar que a haste semi-infinita está alinhada ao eixo
, começando de
e indo para
. O ponto
onde queremos calcular o campo elétrico está localizado a uma distância
no eixo
, ou seja, em
.
Isso significa que cada elemento de carga
na haste está localizado em uma posição
ao longo do eixo
, e a distância do elemento
até o ponto
será
.
Passo 3
Expressão do Elemento Diferencial de Campo Elétrico
A carga infinitesimal
em um ponto
da haste é dada por:
Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a essa carga no ponto
é:
Onde:
-
é a distância entre e . -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
Decomposição do Campo Elétrico em Componentes
O vetor campo elétrico
tem componentes nas direções
e
. Vamos decompor
:
Onde
é o ângulo que
faz com o eixo
. Pelo triângulo formado:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Integração das Componentes ao Longo da Haste Semi-Infinita
Para encontrar o campo elétrico total, precisamos integrar
e
de
a
.
Integrando
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Integrando
:
Fazendo a substituição
,
, e considerando que a integral é padrão:
Passo 6
Determinação da Magnitude e Direção do Campo Elétrico
Agora que temos as componentes
e
, podemos encontrar a magnitude total do campo elétrico
no ponto
:
Independência da Direção em Relação a
Observamos que as componentes
e
são iguais e independem de
. Isso mostra que a direção do campo elétrico é fixa e não depende da distância
.
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por:
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