Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por omega(x)= A e^-x^2 / 2 L^2 e uma energia dada por hbar^2 / 2 m L^2, em que L é um comprimento.
a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com uma função de onda omega(x) = A e^-x^2 / 2 L^2 e uma energia dada por E = hbar^22 m L^2. A matéria aqui é da mecânica quântica, especificamente usando a equação de Schrödinger para encontrar a energia potencial V(x). Vamos precisar da equação de Schrödinger e calcular a segunda derivada da função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2omega(x)dx^2 + V(x)omega(x) = Eomega(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, V(x) é a energia potencial que queremos encontrar, e E é a energia total da partícula.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada da função de onda omega(x):
omega(x) = A e^-x^2 / 2 L^2
Primeira derivada:
domegadx = -xL^2 A e^-x^2 / 2 L^2
Segunda derivada:
d^2omegadx^2 = ( x^2L^4 - 1L^2 ) A e^-x^2 / 2 L^2

Passo 4

Agora, vamos substituir a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22m ( x^2L^4 - 1L^2 ) A e^-x^2 / 2 L^2 + V(x) A e^-x^2 / 2 L^2 = E A e^-x^2 / 2 L^2
Dividindo ambos os lados por A e^-x^2 / 2 L^2:
-hbar^22m ( x^2L^4 - 1L^2 ) + V(x) = E

Passo 5

Isolando V(x):
V(x) = E + hbar^22m ( x^2L^4 - 1L^2 )
Substituindo E = hbar^22 m L^2:
V(x) = hbar^22 m L^2 + hbar^22m ( x^2L^4 - 1L^2 ) = hbar^22m L^4 x^2

Resposta

A energia potencial em função de x é:
V(x) = hbar^22 m L^4 x^2

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