Se a ∈ R+e se F(s) = L{f(t)}, então,
L{e^(a t) f(t)}=F(s-a)
Demonstração: Exercício.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma função que é transformada pela Transformada de Laplace, resultando em . O exercício quer que a gente mostre que, se a gente multiplica por , onde é um número real positivo, a Transformada de Laplace dessa nova função é . Vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para fazer essa demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a Transformada de Laplace pega uma função no tempo e a transforma em uma função no domínio .

Passo 3

Agora, queremos achar a Transformada de Laplace de . Vamos escrever isso usando a definição:

Passo 4

Podemos simplificar os expoentes dentro da integral. Lembrando que , então:

Passo 5

Observamos que a expressão dentro da integral agora é semelhante à definição original da Transformada de Laplace, mas com substituído por :

Passo 6

Então, podemos escrever que:
onde .

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário k>0 ).
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial y^2=u.
Uma haste,presa na origem do plano x y,ocupa a posição da reta que faz um ângulo de theta radianos com o eixo positivo dos x. A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x^2 + (y - a)^2 = a^2 no ponto B (figura 1.10). Quando theta varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
a) Mostre que
sigma(theta) = (2a cotg(theta), 2a sen^2(theta)), 0 < theta < pi
é uma parametrização da curva de Agnesi, em função do parâmetro theta.
b) Faça um esboço desta curva.
c) Determine sua equação cartesiana.
Figura 1.10
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
f(x) = (1 - x) * raiz(x)
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
s(t) = 1 / (a t), em que a é uma constante real não-nula.