Se
e se
, então,
Demonstração: Exercício.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma função
que é transformada pela Transformada de Laplace, resultando em
. O exercício quer que a gente mostre que, se a gente multiplica
por
, onde
é um número real positivo, a Transformada de Laplace dessa nova função é
. Vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para fazer essa demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a Transformada de Laplace pega uma função no tempo
e a transforma em uma função no domínio
.
Passo 3
Agora, queremos achar a Transformada de Laplace de
. Vamos escrever isso usando a definição:
Passo 4
Podemos simplificar os expoentes dentro da integral. Lembrando que
, então:
Passo 5
Observamos que a expressão dentro da integral agora é semelhante à definição original da Transformada de Laplace, mas com
substituído por
:
Passo 6
Então, podemos escrever que:
onde
.