Se a ∈ R+e se F(s) = L{f(t)}, então,
L{e^(a t) f(t)}=F(s-a)
Demonstração: Exercício.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma função que é transformada pela Transformada de Laplace, resultando em . O exercício quer que a gente mostre que, se a gente multiplica por , onde é um número real positivo, a Transformada de Laplace dessa nova função é . Vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para fazer essa demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a Transformada de Laplace pega uma função no tempo e a transforma em uma função no domínio .

Passo 3

Agora, queremos achar a Transformada de Laplace de . Vamos escrever isso usando a definição:

Passo 4

Podemos simplificar os expoentes dentro da integral. Lembrando que , então:

Passo 5

Observamos que a expressão dentro da integral agora é semelhante à definição original da Transformada de Laplace, mas com substituído por :

Passo 6

Então, podemos escrever que:
onde .

Resposta

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