Um pesado disco de plástico está montado sobre mancais sem atrito no eixo vertical que passa pelo seu centro. O disco teris
e massa
. Uma barata (massa
) está sobre o disco, a uma distância de
do centro. Inicia começa, te, tanto o disco quanto a barata estão em repouso. Abarata notrica ao então, a caminhar ao longo de uma trajetória circularo. Se a rapidez eixo do disco, à distância constante de
do eixo. Se a raparata em relação à sala?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um disco de plástico pesado, que tem raio
e massa
. Esse disco está apoiado em um eixo vertical sem atrito, o que significa que ele pode girar livremente. Sobre o disco, tem uma barata com massa
, inicialmente parada a
do centro. Quando a barata começa a caminhar em círculo mantendo essa distância constante, o disco também começa a girar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da barata em relação à sala, dado que o disco está girando com uma certa rapidez angular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas isolados onde não há torque externo, o momento angular total é conservado. Aqui, o disco e a barata formam um sistema isolado porque não há atrito no eixo, então não há torque externo agindo no sistema.
Passo 3
No início, tanto o disco quanto a barata estão parados, então o momento angular total inicial é zero:
Passo 4
Quando a barata começa a caminhar, ela ganha um momento angular, e para conservar o momento angular total igual a zero, o disco deve girar em sentido oposto, ganhando um momento angular igual e oposto.
Passo 5
Vamos expressar o momento angular da barata e do disco após o movimento. O momento angular
de um objeto é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 6
Para a barata, que está se movendo numa trajetória circular, o momento de inércia é:
onde
é a massa da barata e
é o raio da trajetória (8,0 cm = 0,08 m).
Passo 7
Para o disco, que é um sólido circular, o momento de inércia é:
onde
é a massa do disco e
é o seu raio (15 cm = 0,15 m).
Passo 8
Agora, aplicando a conservação do momento angular:
Então:
Passo 9
Como a barata está se movendo com uma velocidade angular
relativa à sala, e o disco está girando com
, precisamos relacionar essas velocidades. Considerando que a velocidade angular da barata em relação ao disco seja zero (ela mantém uma distância constante), então:
Passo 10
Substituindo
e
por
:
Passo 11
Para que a equação seja satisfeita, temos que:
Como as massas e os raios são positivos, a única solução física possível é
, o que não faz sentido no contexto. Isso indica que nossa suposição inicial de
está incorreta.
Passo 12
Na verdade, a barata está movendo-se com uma velocidade angular relativa ao disco, então devemos reconsiderar a relação entre as velocidades angulares. A velocidade angular total da barata em relação à sala será a soma da velocidade angular do disco e da velocidade angular da barata em relação ao disco.
Passo 13
Agora, aplicando a conservação do momento angular corretamente:
Passo 14
Assumindo que a velocidade angular relativa
da barata em relação ao disco seja zero (ela mantém um raio constante), então:
Ainda resulta em
, o que sugere que não há rotação induzida, o que não é o caso. Portanto, devemos concluir que a movimentação da barata afeta o disco, e precisamos relacionar suas velocidades de forma diferente.
Passo 15
Vamos abordar de outra maneira. A velocidade tangencial da barata em relação à sala é a soma da velocidade tangencial devido à rotação do disco e da sua própria velocidade relativa ao disco:
onde:
Passo 16
No entanto, sem informações adicionais sobre a velocidade relativa da barata em relação ao disco, não podemos determinar
. Portanto, parece que precisamos de mais dados ou de uma abordagem diferente para resolver o problema com as informações fornecidas.
Resposta
Com base nas informações fornecidas e aplicando a conservação do momento angular, concluímos que, para manter a distância constante de 8,0 cm do eixo, a velocidade angular do disco deve ser zero. Portanto, a velocidade da barata em relação à sala é simplesmente a sua velocidade relativa à mesa:
onde
é a rapidez angular do disco e
. Substituindo os valores, temos:
Assim, a velocidade da barata em relação à sala é proporcional à rapidez angular
do disco.
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