Um pesado disco de plástico está montado sobre mancais sem atrito no eixo vertical que passa pelo seu centro. O disco teris R=15 cm e massa M=0,25 kg. Uma barata (massa m=0,015 kg ) está sobre o disco, a uma distância de 8,0 cm do centro. Inicia começa, te, tanto o disco quanto a barata estão em repouso. Abarata notrica ao então, a caminhar ao longo de uma trajetória circularo. Se a rapidez eixo do disco, à distância constante de 8,0 cm do eixo. Se a raparata em relação à sala?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um disco de plástico pesado, que tem raio e massa . Esse disco está apoiado em um eixo vertical sem atrito, o que significa que ele pode girar livremente. Sobre o disco, tem uma barata com massa , inicialmente parada a do centro. Quando a barata começa a caminhar em círculo mantendo essa distância constante, o disco também começa a girar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da barata em relação à sala, dado que o disco está girando com uma certa rapidez angular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em sistemas isolados onde não há torque externo, o momento angular total é conservado. Aqui, o disco e a barata formam um sistema isolado porque não há atrito no eixo, então não há torque externo agindo no sistema.

Passo 3

No início, tanto o disco quanto a barata estão parados, então o momento angular total inicial é zero:
Linicial = 0

Passo 4

Quando a barata começa a caminhar, ela ganha um momento angular, e para conservar o momento angular total igual a zero, o disco deve girar em sentido oposto, ganhando um momento angular igual e oposto.

Passo 5

Vamos expressar o momento angular da barata e do disco após o movimento. O momento angular L = I cdot omega de um objeto é dado por:
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 6

Para a barata, que está se movendo numa trajetória circular, o momento de inércia é:
Ibarata = m cdot r^2
onde é a massa da barata e é o raio da trajetória (8,0 cm = 0,08 m).

Passo 7

Para o disco, que é um sólido circular, o momento de inércia é:
Idisco = 12 M R^2
onde é a massa do disco e é o seu raio (15 cm = 0,15 m).

Passo 8

Agora, aplicando a conservação do momento angular:
Linicial = Lfinal, barata + Lfinal, disco = 0
Então:
m cdot r^2 cdot omegabarata + 12 M R^2 cdot omegadisco = 0

Passo 9

Como a barata está se movendo com uma velocidade angular omegabarata = omegadisco = omega relativa à sala, e o disco está girando com , precisamos relacionar essas velocidades. Considerando que a velocidade angular da barata em relação ao disco seja zero (ela mantém uma distância constante), então:

Passo 10

Substituindo m cdot r^2 cdot omega + 12 M R^2 cdot omega = 0 e omega (m cdot r^2 + 12 M R^2) = 0 por :

Passo 11

Para que a equação seja satisfeita, temos que:
omega = 0 ou m cdot r^2 + 12 M R^2 = 0
Como as massas e os raios são positivos, a única solução física possível é , o que não faz sentido no contexto. Isso indica que nossa suposição inicial de está incorreta.

Passo 12

Na verdade, a barata está movendo-se com uma velocidade angular relativa ao disco, então devemos reconsiderar a relação entre as velocidades angulares. A velocidade angular total da barata em relação à sala será a soma da velocidade angular do disco e da velocidade angular da barata em relação ao disco.
omegabarata = omegadisco + omegarelativa

Passo 13

Agora, aplicando a conservação do momento angular corretamente:
m cdot r^2 cdot (omega + omegarelativa) + 12 M R^2 cdot omega = 0

Passo 14

Assumindo que a velocidade angular relativa m cdot r^2 cdot omega + 12 M R^2 cdot omega = 0 da barata em relação ao disco seja zero (ela mantém um raio constante), então:
Ainda resulta em , o que sugere que não há rotação induzida, o que não é o caso. Portanto, devemos concluir que a movimentação da barata afeta o disco, e precisamos relacionar suas velocidades de forma diferente.

Passo 15

Vamos abordar de outra maneira. A velocidade tangencial da barata em relação à sala é a soma da velocidade tangencial devido à rotação do disco e da sua própria velocidade relativa ao disco:
vbarata = vdisco + vrelativa
onde:
vdisco = omega cdot r
vrelativa = velocidade da barata em relação ao disco çã

Passo 16

No entanto, sem informações adicionais sobre a velocidade relativa da barata em relação ao disco, não podemos determinar . Portanto, parece que precisamos de mais dados ou de uma abordagem diferente para resolver o problema com as informações fornecidas.

Resposta

Com base nas informações fornecidas e aplicando a conservação do momento angular, concluímos que, para manter a distância constante de 8,0 cm do eixo, a velocidade angular do disco deve ser zero. Portanto, a velocidade da barata em relação à sala é simplesmente a sua velocidade relativa à mesa:
vbarata = omega cdot r
onde vbarata = omega cdot 0,08 , m é a rapidez angular do disco e . Substituindo os valores, temos:
Assim, a velocidade da barata em relação à sala é proporcional à rapidez angular do disco.

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