determina uma superficie cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é mostrar que essa equação representa uma superfície cilíndrica. Além disso, precisamos encontrar a equação da curva diretriz dessa superfície e um vetor que seja paralelo à reta geratriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como formas de equações de superfícies e propriedades de cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. A equação original é:
Vamos agrupar os termos que envolvem , e :
Passo 3
Agora, observamos que temos termos quadráticos misturados de e , e de e . Isso sugere que podemos completar o quadrado para simplificar a equação. Vamos começar lidando com os termos que envolvem .
Considerando os termos , podemos reescrever isso como:
Para completar o quadrado, precisamos encontrar um termo que complete a expressão.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para . A expressão pode ser escrita como:
Agora, completamos o quadrado adicionando e subtraindo :
Passo 5
Substituindo de volta na equação original, temos:
Multiplicando tudo para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos simplificar os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 7
Para simplificar, observamos que a equação possui um termo quadrático em e que não envolve de forma independente. Isso indica que a superfície não depende de , caracterizando uma superfície cilíndrica. Em uma superfície cilíndrica, a equação não tem variação em uma direção, ou seja, a superfície é gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva fixa.
Passo 8
Agora, identificamos a curva diretriz, que é a parte da equação que define a curva fixa ao longo da qual a reta se movimenta. Observando a equação simplificada, podemos dizer que a curva diretriz está no plano que não depende de :
Essa é a equação da curva diretriz.
Passo 9
Para encontrar um vetor paralelo à reta geratriz, notamos que a direção da reta que define o cilindro é a direção que não aparece na equação da curva diretriz. Como eliminamos na curva diretriz, isso indica que a reta geratriz é paralela ao eixo . Portanto, um vetor paralelo à reta geratriz pode ser dado por:
Resposta
A equação 1 0 0 determina uma superfície cilíndrica. A curva diretriz é definida por e um vetor paralelo à reta geratriz é .