Mostre que
9 x^2+y^2+2 z^2+2 x y-8 x z-1=0
determina uma superficie cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é mostrar que essa equação representa uma superfície cilíndrica. Além disso, precisamos encontrar a equação da curva diretriz dessa superfície e um vetor que seja paralelo à reta geratriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como formas de equações de superfícies e propriedades de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. A equação original é:
9x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy - 8xz - 1 = 0
Vamos agrupar os termos que envolvem 9x^2 + 2xy - 8xz + y^2 + 2z^2 - 1 = 0 , e :

Passo 3

Agora, observamos que temos termos quadráticos misturados de 9x^2 + 2x(y - 4z) e , e de e . Isso sugere que podemos completar o quadrado para simplificar a equação. Vamos começar lidando com os termos que envolvem .
Considerando os termos , podemos reescrever isso como:
Para completar o quadrado, precisamos encontrar um termo que complete a expressão.

Passo 4

Vamos completar o quadrado para 9( x^2 + 29x(y - 4z) ) . A expressão 9[ ( x + y - 4z9 )^2 - ( y - 4z9 )^2 ] pode ser escrita como:
Agora, completamos o quadrado adicionando e subtraindo :

Passo 5

Substituindo de volta na equação original, temos:
9( x + y - 4z9 )^2 - (y - 4z)^29 + y^2 + 2z^2 - 1 = 0
Multiplicando tudo para eliminar o denominador:
9( x + y - 4z9 )^2 - (y - 4z)^29 times 9 + 9y^2 + 18z^2 - 9 = 0
Simplificando:
9( x + y - 4z9 )^2 - (y - 4z)^2 + 9y^2 + 18z^2 - 9 = 0

Passo 6

Agora, vamos simplificar os termos:
9( x + y - 4z9 )^2 - y^2 + 8yz - 16z^2 + 9y^2 + 18z^2 - 9 = 0
Combinando os termos semelhantes:
9( x + y - 4z9 )^2 + 8y^2 + 8yz + 2z^2 - 9 = 0

Passo 7

Para simplificar, observamos que a equação possui um termo quadrático em e que não envolve de forma independente. Isso indica que a superfície não depende de , caracterizando uma superfície cilíndrica. Em uma superfície cilíndrica, a equação não tem variação em uma direção, ou seja, a superfície é gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva fixa.

Passo 8

Agora, identificamos a curva diretriz, que é a parte da equação que define a curva fixa ao longo da qual a reta se movimenta. Observando a equação simplificada, podemos dizer que a curva diretriz está no plano que não depende de 8y^2 + 8yz + 2z^2 - 9 = 0 :
Essa é a equação da curva diretriz.

Passo 9

Para encontrar um vetor paralelo à reta geratriz, notamos que a direção da reta que define o cilindro é a direção que não aparece na equação da curva diretriz. Como eliminamos v = 1 0 0 na curva diretriz, isso indica que a reta geratriz é paralela ao eixo . Portanto, um vetor paralelo à reta geratriz pode ser dado por:

Resposta

A equação 1 0 0 determina uma superfície cilíndrica. A curva diretriz é definida por e um vetor paralelo à reta geratriz é .

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