A história do acidente nuclear começa em 26 de abril de 1986, quando explodiu o reator de número quatro da usina de Chernobyl, localizada a cerca de 130 quilômetros de distância da capital da Ucrânia, Kiev, e a pouco mais de 20 quilômetros da pequena Pripyat, a cidade mais próxima das suas instalações. Há, ainda, uma cidade chamada Chernobyl, mais distante da usina.
Fundada em 1970 para ser lar dos funcionários de Chernobyl, Pripyat chegou a ser habitada por 50 mil pessoas e foi completamente abandonada nos momentos seguintes ao acidente nuclear. Hoje, a área que compreende a cidade e a usina é chamada de
Fonte: https://exame.com/mundo
Após a explosão do reator, além das seis toneladas de dióxido de urânio que foram lançadas, e além de substâncias como o iodo 131 (que permanece ativo por uma média de 8 dias), o estrôncio, o americio 241 e o plutônio 239 (milhares de anos), foi expelido pela explosão da usina, uma certa quantidade A0 do Césio-137 um dos elementos mais nocivos. Após 20 anos, foi detectado que 36 % da quantidade inicial A0 de Césio-137 havia se desintegrado. Sabendo que a região se tornará segura quando os níveis de radiação estejam baixos ou seja quando restarem 1% de A0. Determine em que ano a região poderá ser habitada novamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre o acidente nuclear de Chernobyl que aconteceu em 1986. Depois do acidente, foi liberada uma certa quantidade de Césio-137, que a gente chama de . Sabemos que, depois de 20 anos, 36% dessa quantidade original se desintegrou, ou seja, restaram 64% ( ). Agora, queremos saber em que ano a região vai estar segura novamente, ou seja, quando restar apenas 1% da quantidade inicial de Césio-137 ( ).
Para resolver isso, vamos usar o modelo de decaimento exponencial, que é uma fórmula usada para descrever como substâncias radioativas se desintegram ao longo do tempo. A gente vai precisar entender essa fórmula e como aplicar os dados que a questão nos dá.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Onde:
  • é a quantidade de substância no tempo .
  • é a quantidade inicial da substância.
  • é a constante de decaimento (uma taxa que indica quão rápido a substância se desintegra).
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Nosso objetivo é encontrar o tempo quando .

Passo 3

Vamos usar os dados que a questão nos dá para encontrar a constante de decaimento . Sabemos que após 20 anos, 36% de se desintegrou, ou seja, restaram 64% ( ).
Substituindo na fórmula:
Podemos dividir os dois lados por (desde que ):

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar . Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolando :
Calculando:

Passo 5

Com conhecido, agora vamos encontrar o tempo para que reste apenas 1% de . Usamos novamente a fórmula do decaimento:
Dividindo por :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos somar esse tempo ao ano do acidente para descobrir em que ano a região será segura novamente.
Como não usamos frações de ano na prática, arredondamos para o ano inteiro mais próximo:

Resposta

A região poderá ser habitada novamente no ano de 2193.

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