Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo com raio decrescendo à razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de neve que está derretendo, ou seja, o raio dela está diminuindo de forma constante. Ela passou de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Queremos descobrir qual é a variação do volume da bola quando o raio está em 25 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, e a fórmula do volume de uma esfera.
Passo 2
Vamos começar encontrando a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que chamaremos de
. Sabemos que o raio diminuiu de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. A variação do raio é:
O sinal negativo indica que o raio está diminuindo. A taxa de variação do raio é então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera para encontrar como o volume está mudando com o tempo. A fórmula do volume
de uma esfera com raio
é:
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo,
, vamos derivar
em relação a
e depois multiplicar pela taxa de variação do raio:
Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão que encontramos para
:
Aproximando
para 3,14:
Resposta
A variação do volume da bola de neve quando o raio está com 25 cm é aproximadamente
por minuto.