Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo com raio decrescendo à razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de neve que está derretendo, ou seja, o raio dela está diminuindo de forma constante. Ela passou de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Queremos descobrir qual é a variação do volume da bola quando o raio está em 25 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Vamos começar encontrando a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que chamaremos de . Sabemos que o raio diminuiu de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. A variação do raio é:
O sinal negativo indica que o raio está diminuindo. A taxa de variação do raio é então:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera para encontrar como o volume está mudando com o tempo. A fórmula do volume de uma esfera com raio é:
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, , vamos derivar em relação a e depois multiplicar pela taxa de variação do raio:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão que encontramos para :
Aproximando para 3,14:

Resposta

A variação do volume da bola de neve quando o raio está com 25 cm é aproximadamente por minuto.

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