1. um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, um segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se:
    a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do tempo t, medido em segundos.
    b) o valor de h para t = 2

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre um “homem-bala” que é lançado de um canhão e segue uma trajetória parabólica. Isso significa que a altura dele em relação ao chão varia com o tempo de uma forma que pode ser descrita por uma equação quadrática. Para resolver essa questão, vamos precisar usar conhecimentos de funções do segundo grau e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a equação que descreve a altura $ h(t) $ do homem-bala em função do tempo $ t $. Como a trajetória é uma parábola, podemos representar $ h(t) $ da seguinte forma:
h(t)
Onde:
  • $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos descobrir.
  • $ t $ é o tempo em segundos.
  • $ h(t) $ é a altura em metros.

Passo 3

Sabemos que no instante de lançamento ($ t = 0 $), a altura é 3 metros. Então podemos substituir esses valores na equação:
t = 0
Agora nossa equação está ficando mais simples:
h(0) = a (0)^2 + b (0) + c = 3 Rightarrow c = 3

Passo 4

O exercício também diz que “um segundo após ele atinge a altura de 4 metros”. Isso significa que quando $ t = 1 $, $ h(t) = 4 $. Vamos substituir esses valores na equação:
t = 1 çã

Passo 5

Além disso, sabemos que “3 segundos após o lançamento ele atinge o solo”, ou seja, quando $ t = 3 $, $ h(t) = 0 $. Substituindo na equação:
t = 3 çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 1 (Equação 1) 3a + b = -1 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(3a + b) - (a + b) = -1 - 1 2a = -2 Rightarrow a = -1

Passo 7

Com o valor de $ a $ encontrado, substituímos na Equação 1 para encontrar $ b $:
a

Passo 8

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a função que descreve a altura do homem-bala:
h(t) = -1 cdot t^2 + 2 cdot t + 3 Rightarrow h(t) = -t^2 + 2t + 3

Resposta

a) A altura $ h(t) $ do homem-bala em função do tempo é:
h(t)
b) Para $ t = 2 $ segundos, a altura será:
h(t) = -t^2 + 2t + 3

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