- um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, um segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se:
a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do tempo t, medido em segundos.
b) o valor de h para t = 2
a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do tempo t, medido em segundos.
b) o valor de h para t = 2
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre um “homem-bala” que é lançado de um canhão e segue uma trajetória parabólica. Isso significa que a altura dele em relação ao chão varia com o tempo de uma forma que pode ser descrita por uma equação quadrática. Para resolver essa questão, vamos precisar usar conhecimentos de funções do segundo grau e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a equação que descreve a altura $ h(t) $ do homem-bala em função do tempo $ t $. Como a trajetória é uma parábola, podemos representar $ h(t) $ da seguinte forma:
Onde:
- $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos descobrir.
- $ t $ é o tempo em segundos.
- $ h(t) $ é a altura em metros.
Passo 3
Sabemos que no instante de lançamento ($ t = 0 $), a altura é 3 metros. Então podemos substituir esses valores na equação:
Agora nossa equação está ficando mais simples:
Passo 4
O exercício também diz que “um segundo após ele atinge a altura de 4 metros”. Isso significa que quando $ t = 1 $, $ h(t) = 4 $. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Além disso, sabemos que “3 segundos após o lançamento ele atinge o solo”, ou seja, quando $ t = 3 $, $ h(t) = 0 $. Substituindo na equação:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 7
Com o valor de $ a $ encontrado, substituímos na Equação 1 para encontrar $ b $:
Passo 8
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a função que descreve a altura do homem-bala:
Resposta
a) A altura $ h(t) $ do homem-bala em função do tempo é:
b) Para $ t = 2 $ segundos, a altura será: