Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na sua confecção. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa).
A Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D Lados iguais e com dimensão de 0,63m
A Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D Lados iguais e com dimensão de 0,63m
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que criar uma caixa com base quadrada, sem tampa, que tenha um volume de 1 m³. O objetivo é descobrir quais dimensões da caixa vão usar a menor quantidade de material possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar a área da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- a: comprimento de cada lado da base quadrada da caixa.
- h: altura da caixa.
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E queremos que esse volume seja igual a 1 m³:
Passo 3
Agora, vamos expressar a altura h em função de a:
Isso vai nos ajudar a relacionar as dimensões da caixa.
Passo 4
A próxima etapa é calcular a área total de material necessária para construir a caixa. A caixa tem uma base e quatro laterais. Então, a área total S é:
Passo 5
Para encontrar as dimensões que minimizam a área total S, precisamos derivar essa função em relação a a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto mínimo.
Derivando S em relação a a:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Passo 7
Agora que encontramos a, vamos encontrar a altura h usando a relação que estabelecemos anteriormente:
Resposta
A caixa que usa a menor quantidade de material tem lados da base com aproximadamente 1,26 metros e uma altura de 0,63 metros. Portanto, a resposta correta é a opção D: Lados iguais e com dimensão de 0,63m.