Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na sua confecção. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa).
A Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D Lados iguais e com dimensão de 0,63m​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que criar uma caixa com base quadrada, sem tampa, que tenha um volume de 1 m³. O objetivo é descobrir quais dimensões da caixa vão usar a menor quantidade de material possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar a área da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • a: comprimento de cada lado da base quadrada da caixa.
  • h: altura da caixa.
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
V = a^2 times h
E queremos que esse volume seja igual a 1 m³:
a^2 times h = 1

Passo 3

Agora, vamos expressar a altura h em função de a:
h = 1a^2
Isso vai nos ajudar a relacionar as dimensões da caixa.

Passo 4

A próxima etapa é calcular a área total de material necessária para construir a caixa. A caixa tem uma base e quatro laterais. Então, a área total S é:
S = Área da base + Área das laterais ÁÁ
S = a^2 + 4 times (a times h)
S = a^2 + 4 times (a times 1a^2)
S = a^2 + 4a

Passo 5

Para encontrar as dimensões que minimizam a área total S, precisamos derivar essa função em relação a a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto mínimo.
Derivando S em relação a a:
dSda = 2a - 4a^2
Igualando a derivada a zero:
2a - 4a^2 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação:
2a = 4a^2
2a^3 = 4
a^3 = 2
a = raiz[3]2
a approx 1,26 , m

Passo 7

Agora que encontramos a, vamos encontrar a altura h usando a relação que estabelecemos anteriormente:
h = 1a^2
h = 1(1,26)^2
h approx 11,5876
h approx 0,63 , m

Resposta

A caixa que usa a menor quantidade de material tem lados da base com aproximadamente 1,26 metros e uma altura de 0,63 metros. Portanto, a resposta correta é a opção D: Lados iguais e com dimensão de 0,63m.

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