Um homem carrega sobre os ombros de um saco de areia de 50 kg , e que deve levantar a uma altura de 6 m . Se o saco tem um orifício através do qual a areia cai uniformemente de modo que ao atingir o seu destino não há qualquer grão no saco. Qual o trabalho realizado pelo homem durante o ocorrido?

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um homem que está levantando um saco de areia de 50 kg até uma altura de 6 metros. A matéria envolvida aqui é trabalho na Física, especificamente relacionado à força da gravidade e como ela afeta objetos em movimento vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho quando a força varia durante o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (W) é calculado pela fórmula:
W = F times d
onde é a força aplicada e é a distância na direção da força. No nosso caso, a força é a força da gravidade agindo sobre o saco de areia.

Passo 3

A força da gravidade ( Fg = m times g ) é dada por:
onde é a massa do objeto e é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

No entanto, como a areia está saindo do saco de forma uniforme enquanto ele é levantado, a massa do saco está diminuindo ao longo da altura. Isso significa que a força que o homem precisa aplicar também está diminuindo conforme a altura aumenta.

Passo 5

Para lidar com essa variação, vamos considerar a massa do saco em uma altura m(y) = m0 (1 - yh) como:
onde:
  • é a massa inicial,
  • é a altura total.

Passo 6

O trabalho total é a integral da força ao longo do deslocamento. Então, temos:
W = integral0^h m(y) times g , dy
Substituindo W = integral0^6 50 (1 - y6) times 9,8 , dy :

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
W = 50 times 9,8 integral0^6 (1 - y6) , dy
W = 490 integral0^6 (1 - y6) , dy

Passo 8

Calculando a integral:
integral (1 - y6) , dy = y - y^212
Avaliado de 0 a 6:
[6 - 6^212] - [0 - 0] = 6 - 3 = 3

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator que estava fora da integral:
W = 490 times 3 = 1470 , J

Resposta

O trabalho realizado pelo homem é de 1470 Joules.

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