Um homem está parado no alto de um edifício de 15 m de altura e atira uma pedra com velocidade de modulo de 30 m / s formando um ângulo inicial 33^circ acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Calcule (a) a altura máxima acima do telhado atingida pela pedra; (b) o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo? © a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde ela atingiu o solo.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício de Física sobre movimento de projéteis. O enunciado nos diz que um homem está no alto de um edifício de 15 metros e lança uma pedra com uma velocidade de 30 metros por segundo, formando um ângulo de 33 graus em relação à horizontal. Precisamos calcular três coisas:
a) A altura máxima que a pedra atinge acima do telhado.
b) A velocidade da pedra logo antes de ela atingir o solo.
c) A distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde a pedra aterrissa.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento projetil, que nos ajudam a entender como objetos se movem quando lançados com uma certa velocidade e ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): calcular a altura máxima acima do telhado atingida pela pedra.
Quando uma pedra é lançada para cima, ela sobe até que a velocidade vertical seja zero. A altura máxima é alcançada nesse ponto.
Precisamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. A componente vertical da velocidade é responsável por determinar a altura máxima.
A fórmula para a componente vertical da velocidade inicial ( vy0 = v0 cdot sin(theta) ) é:
vy0 = 30 cdot sin(33^circ)
Onde:
  • vy0 approx 30 cdot 0,5446 approx 16,34 , m/s é a velocidade inicial.
  • é o ângulo de lançamento.
Calculando :
Vamos calcular o valor numérico:

Passo 3

Agora, para encontrar a altura máxima ( hmax = vy0^22g ) que a pedra alcança acima do telhado, usamos a seguinte fórmula da cinemática:
hmax = (16,34)^22 cdot 9,8 approx 266,0319,6 approx 13,59 , m
Onde:
  • é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
Então, a altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 13,59 metros.

Passo 4

Interessante perceber que a pedra continua além do telhado. A altura total máxima em relação ao solo é a soma da altura do edifício e da altura máxima alcançada acima dele:
htotal = hedifício + hmax = 15 , m + 13,59 , m approx 28,59 , m í

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo.
Para isso, vamos usar a conservação de energia ou as equações do movimento com a posição final.
Vamos usar a segunda abordagem. A velocidade final pode ser encontrada usando a seguinte equação:
vf^2 = vy0^2 + 2g De
Onde:
  • vf^2 = (16,34)^2 + 2 cdot 9,8 cdot (-28,59) é a variação da posição vertical. Como a pedra desce do ponto mais alto até o solo, vf^2 = 266,03 - 2 cdot 9,8 cdot 28,59 .
Substituindo os valores:
vf^2 = 266,03 - 560,04 approx -294,01
vf^2 = vy0^2 + 2g htotal = (16,34)^2 + 2 cdot 9,8 cdot 28,59
vf^2 = 266,03 + 560,04 approx 826,07
Aqui percebemos que houve um erro, pois o quadrado da velocidade não pode ser negativo. Isso aconteceu porque consideramos vf approx raiz826,07 approx 28,73 , m/s como negativa. Na verdade, na equação correta, usamos a magnitude da variação. Então:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Passo 6

Por fim, a parte ©: calcular a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde a pedra atinge o solo.
Para isso, precisamos determinar o tempo total que a pedra leva para atingir o solo e, em seguida, usar a componente horizontal da velocidade para encontrar a distância.
Primeiro, vamos encontrar o tempo total de voo. Usamos a equação do movimento vertical:
De
Sabemos que -28,59 = 16,34 t + 12 cdot (-9,8) t^2 (já que a pedra desce até o solo), e 4,9 t^2 - 16,34 t - 28,59 = 0 .
Substituindo:
t = 16,34 pm raiz(16,34)^2 + 4 cdot 4,9 cdot 28,592 cdot 4,9
Arrumando a equação:
De
Resolvendo essa equação quadrática para t = 16,34 pm raiz826,079,8 approx 16,34 pm 28,739,8 :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t approx 16,34 + 28,739,8 approx 45,079,8 approx 4,60 , s
Calculando o discriminante:
Então:
Considerando apenas a solução positiva:

Passo 7

Agora que temos o tempo total de voo ( vx = v0 cdot cos(theta) = 30 cdot cos(33^circ) approx 30 cdot 0,8387 approx 25,16 , m/s ), podemos encontrar a distância horizontal ( d = vx cdot t approx 25,16 cdot 4,60 approx 115,74 , m ).
A componente horizontal da velocidade ( ) é constante, já que não há resistência do ar:
Então, a distância horizontal é:

Resposta

(a) A altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 13,59 metros.
(b) O m��dulo da velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é de aproximadamente 28,73 m/s.
© A distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde a pedra atinge o solo é de aproximadamente 115,74 metros.

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