Um homem sobe em uma escada de comprimento
, apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade da escada apóiase sobre o piso horizontal. A massa do homem é 5 vezes a massa
da escada. Inicialmente, suponha que o coeficiente de atrito estático entre o piso e a base da escada vale 0.45 e que o ângulo entre a escada e a parede é de
. (a) Quando o homem está no meio da escada, qual é a força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada? (b) A que distância máxima o homem pode chegar ao longo da escada, sem que esta escorregue? © Agora, suponha um coeficiente de atrito estático qualquer entre o piso horizontal e a escada, e que o homem deve chegar até a extremidade superior da escada, sem que ela escorregue. Obtenha uma expressão para o ângulo limite entre a escada e a parede para que isto seja possível. (d) Calcule o valor deste ângulo limite, considerando
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre a estática de uma escada apoiada em uma parede. O conteúdo principal aqui é o equilíbrio de torques e forças, além do conceito de atrito estático. Precisaremos entender como calcular as forças envolvidas quando o homem está em diferentes posições na escada e como o atrito evita que a escada escorregue.
Passo 2
Parte (a): Força de atrito estático quando o homem está no meio da escada
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na escada:
- Peso da escada (
): Atua no centro da escada, que está a metade de seu comprimento . - Peso do homem (
): Como a massa do homem é 5 vezes a da escada, , e ele está no meio da escada. - Força normal (
): Atua perpendicularmente ao chão na base da escada. - Força de atrito estático (
): Atua paralelamente ao chão, impedindo o deslizamento da escada. - Reação na parede: Como a parede é sem atrito, a força é horizontal.
Para encontrar a força de atrito estático, usamos o equilíbrio de torques em relação à base da escada para eliminar
e
.
O ângulo dado é
.
Passo 3
Vamos calcular os torques. O torque é dado por:
Onde
é a força,
é a distância perpendicular ao ponto de rotação, e
é o ângulo entre a força e a linha de ação.
Considerando a base da escada como ponto de rotação:
- Torque devido ao peso da escada:
- Torque devido ao peso do homem:
- Torque devido à força de atrito (
): Não gera torque porque atua na base.
Para manter o equilíbrio:
Mas a força na parede também gera torque:
Como não há movimento, os torques se equilibram:
Simplificando:
Passo 4
Agora, usando o coeficiente de atrito estático
, a força de atrito máxima é:
No equilíbrio,
, então:
Resposta
A força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada quando o homem está no meio da escada é
.