Um homem sobe em uma escada de comprimento , apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade da escada apóiase sobre o piso horizontal. A massa do homem é 5 vezes a massa da escada. Inicialmente, suponha que o coeficiente de atrito estático entre o piso e a base da escada vale 0.45 e que o ângulo entre a escada e a parede é de . (a) Quando o homem está no meio da escada, qual é a força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada? (b) A que distância máxima o homem pode chegar ao longo da escada, sem que esta escorregue? © Agora, suponha um coeficiente de atrito estático qualquer entre o piso horizontal e a escada, e que o homem deve chegar até a extremidade superior da escada, sem que ela escorregue. Obtenha uma expressão para o ângulo limite entre a escada e a parede para que isto seja possível. (d) Calcule o valor deste ângulo limite, considerando .

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre a estática de uma escada apoiada em uma parede. O conteúdo principal aqui é o equilíbrio de torques e forças, além do conceito de atrito estático. Precisaremos entender como calcular as forças envolvidas quando o homem está em diferentes posições na escada e como o atrito evita que a escada escorregue.

Passo 2

Parte (a): Força de atrito estático quando o homem está no meio da escada
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na escada:
  1. Peso da escada ( ): Atua no centro da escada, que está a metade de seu comprimento .
  2. Peso do homem ( ): Como a massa do homem é 5 vezes a da escada, , e ele está no meio da escada.
  3. Força normal ( ): Atua perpendicularmente ao chão na base da escada.
  4. Força de atrito estático ( ): Atua paralelamente ao chão, impedindo o deslizamento da escada.
  5. Reação na parede: Como a parede é sem atrito, a força é horizontal.
Para encontrar a força de atrito estático, usamos o equilíbrio de torques em relação à base da escada para eliminar e .
O ângulo dado é .

Passo 3

Vamos calcular os torques. O torque é dado por:
Onde é a força, é a distância perpendicular ao ponto de rotação, e é o ângulo entre a força e a linha de ação.
Considerando a base da escada como ponto de rotação:
  1. Torque devido ao peso da escada:
  1. Torque devido ao peso do homem:
  1. Torque devido à força de atrito ( ): Não gera torque porque atua na base.
Para manter o equilíbrio:
Mas a força na parede também gera torque:
Como não há movimento, os torques se equilibram:
Simplificando:

Passo 4

Agora, usando o coeficiente de atrito estático , a força de atrito máxima é:
á
No equilíbrio, á, então:

Resposta

A força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada quando o homem está no meio da escada é .

Exercícios relacionados

A massa de um veículo vale duas toneladas e a distância entre os eixos é igual a 3.5 m . O centro de massa do automóvel está situado a 1.2 m atrás do eixo dianteiro. Suponha que todas as rodas sejam idênticas. Determine a força exercida pelo solo sobre cada uma das rodas (a) dianteiras e (b) traseiras. Despreze a largura do automóvel.
Um pequeno carro guiado por controle remoto possui massa de e se move com velocidade constante em um círculo vertical no interior de um cilindro metálico oco de raio , figura abaixo. Qual é o módulo da força normal exercida pela parede do cilindro sobre o carro (a) no ponto A (base do círculo vertical)? (b) e no ponto B (no topo do círculo vertical)? © Qual a menor velocidade do carrinho para que ele consiga passar no topo do círculo vertical?
Uma régua está apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade está apoiada sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito estático entre a régua e o piso vale 0.5 . Calcule o maior ângulo que a régua pode fazer com a parede sem que ocorra o seu escorregamento.
Uma viga uniforme de 23 kg e 91 cm tem uma das extremidades articulada numa parede. A outra extremidade é suportada por um fio. (a) Ache a tensão no fio. (b) Determine a força (intensidade, direção e sentido) exercida pela parede sobre a articulação. Considere .