Um homem sobe em uma escada de comprimento L, apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade da escada apóiase sobre o piso horizontal. A massa do homem é 5 vezes a massa me da escada. Inicialmente, suponha que o coeficiente de atrito estático entre o piso e a base da escada vale 0.45 e que o ângulo entre a escada e a parede é de 36.87^circ. (a) Quando o homem está no meio da escada, qual é a força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada? (b) A que distância máxima o homem pode chegar ao longo da escada, sem que esta escorregue? © Agora, suponha um coeficiente de atrito estático qualquer entre o piso horizontal e a escada, e que o homem deve chegar até a extremidade superior da escada, sem que ela escorregue. Obtenha uma expressão para o ângulo limite entre a escada e a parede para que isto seja possível. (d) Calcule o valor deste ângulo limite, considerando mue=0.45.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre a estática de uma escada apoiada em uma parede. O conteúdo principal aqui é o equilíbrio de torques e forças, além do conceito de atrito estático. Precisaremos entender como calcular as forças envolvidas quando o homem está em diferentes posições na escada e como o atrito evita que a escada escorregue.

Passo 2

Parte (a): Força de atrito estático quando o homem está no meio da escada
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes na escada:
  1. Peso da escada ( Pe): Atua no centro da escada, que está a metade de seu comprimento L.
  2. Peso do homem ( Ph): Como a massa do homem é 5 vezes a da escada, Ph = 5me g, e ele está no meio da escada.
  3. Força normal ( N): Atua perpendicularmente ao chão na base da escada.
  4. Força de atrito estático ( f): Atua paralelamente ao chão, impedindo o deslizamento da escada.
  5. Reação na parede: Como a parede é sem atrito, a força é horizontal.
Para encontrar a força de atrito estático, usamos o equilíbrio de torques em relação à base da escada para eliminar N e f.
O ângulo dado é 36.87^circ.

Passo 3

Vamos calcular os torques. O torque é dado por:
tau = F cdot d cdot sin(theta)
Onde F é a força, d é a distância perpendicular ao ponto de rotação, e theta é o ângulo entre a força e a linha de ação.
Considerando a base da escada como ponto de rotação:
  1. Torque devido ao peso da escada:
taue = Pe cdot L2 cdot cos(36.87^circ)
  1. Torque devido ao peso do homem:
tauh = Ph cdot L2 cdot cos(36.87^circ)
  1. Torque devido à força de atrito ( f): Não gera torque porque atua na base.
Para manter o equilíbrio:
taue + tauh = tauparede
Mas a força na parede também gera torque:
tauparede = Fparede cdot L cdot sin(36.87^circ)
Como não há movimento, os torques se equilibram:
Pe cdot L2 cdot cos(36.87^circ) + 5me g cdot L2 cdot cos(36.87^circ) = f cdot L cdot cos(36.87^circ)
Simplificando:
f = Pe + Ph2 = me g + 5me g2 = 3me g

Passo 4

Agora, usando o coeficiente de atrito estático mu = 0.45, a força de atrito máxima é:
fmáx = mu N á
No equilíbrio, f = fmáxá, então:
3me g = 0.45 N N = 3me g0.45 N = 30.45 me g N = 203 me g

Resposta

A força de atrito estático exercida pelo piso horizontal sobre a escada quando o homem está no meio da escada é 3me g.

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