Uma régua está apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade está apoiada sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito estático entre a régua e o piso vale 0.5 . Calcule o maior ângulo que a régua pode fazer com a parede sem que ocorra o seu escorregamento.

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma régua apoiada contra uma parede vertical e descansando sobre o chão. A parede não oferece atrito, enquanto o chão tem um coeficiente de atrito estático de 0,5. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior ângulo que essa régua pode fazer com a parede sem deslizar para baixo.
Conteúdo necessário:
  • Equilíbrio de forças
  • Equilíbrio de torques
  • Conceitos de atrito estático

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na régua:
  1. Peso §: A força da gravidade que age no centro de massa da régua, apontando para baixo.
  2. Força normal da parede (N_p): Como a parede é vertical e sem atrito, essa força é horizontal.
  3. Força normal do chão (N_c): Perpendicular ao chão, apontando para cima.
  4. Atrito estático no chão (f): Contrário ao movimento, que neste caso seria deslizar para fora da parede.

Passo 3

Como a régua está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos torques também deve ser zero.
Equilíbrio das forças horizontais:
Np = f
Equilíbrio das forças verticais:
Nc = P

Passo 4

O atrito estático máximo que o chão pode exercer é dado por:
fmáx = mu Nc á
Substituindo fmáx = mu P da equação anterior:
á

Passo 5

Para evitar o escorregamento, a força horizontal da parede Np <= mu P deve ser igual ou menor que á:

Passo 6

Agora, vamos considerar os torques (momentos) em relação ao ponto de contato com a parede para eliminar tauP = P cdot L2 cdot cos(theta) . O torque devido ao peso é:
tauf = f cdot L cdot sin(theta)
E o torque devido à força de atrito é:
tauP = tauf
Para equilíbrio:
P cdot L2 cdot cos(theta) = f cdot L cdot sin(theta)
P2 cos(theta) = f sin(theta)
Simplificando (comprimento da régua):

Passo 7

Substituindo P2 cos(theta) = mu P sin(theta) por 12 cos(theta) = mu sin(theta) da equação do passo 4:
Cancelando :

Passo 8

Isolando cos(theta)sin(theta) = 2mu :
cot(theta) = 2mu
theta = cot^-1(2mu)

Passo 9

Substituindo theta = cot^-1(2 times 0.5) :
theta = cot^-1(1)
theta = 45^circ

Resposta

O maior ângulo que a régua pode fazer com a parede sem escorregar é de 45 graus.

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