Huguinho ganhou uma varinha mágica em forma de um cilindro maciço, não condutor, com 5,0 cm de raio. Ao passar o pano na varinha cla ficou com uma densidade volumétrica de cargas não uniforme rho, sendo p uma função da distância radial r a partir do cixo do cilindro dada por: rho =Ar^2. Se A=2,5 mu C / m^5, determine o módulo do campo elétrico (a) para r=2,5 cm; (b) para r=7,5 cm. (2,5)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma varinha mágica em forma de cilindro não condutor com raio de . Quando passou o pano, a varinha adquiriu uma densidade volumétrica de carga que não é uniforme, dada por , onde e é a distância radial a partir do eixo do cilindro. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo elétrico em dois pontos: (a) (dentro do cilindro) e (b) (fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que a integral do campo elétrico ointS E cdot dA = Qencvarepsilon0 sobre uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela constante de permissividade do vácuo :
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com a varinha mágica.

Passo 3

Vamos determinar o campo elétrico para o caso (a), onde Qenc = integral0^r rho cdot 2pi r' L , dr' , que está dentro do cilindro. Precisamos calcular a carga encerrada dentro desse raio.
A densidade volumétrica de carga é . Para encontrar a carga encerrada , integramos sobre o volume do cilindro de raio :
Aqui, é o comprimento do cilindro, mas como será cancelado, podemos considerar para facilitar os cálculos.

Passo 4

Vamos realizar a integração:
Qenc = integral0^r A r'^2 cdot 2pi r' cdot 1 , dr' = 2pi A integral0^r r'^3 , dr' = 2pi A [ r'^44 ]0^r = pi A r^42

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, a integral do campo elétrico sobre a superfície gaussiana é:
E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0
Substituindo E cdot 2pi r = pi A r^42 varepsilon0 :

Passo 6

Isolando E = A r^34 varepsilon0 :
A = 2,5, muC/m^5 = 2,5 times 10^-6, C/m^5
Agora, substituímos os valores dados. Primeiro, convertemos para :
E .

Passo 7

Substituindo os valores:
E = 2,5 times 10^-6, C/m^5 times (0,025, m)^34 times 8,85 times 10^-12, C^2/(N cdot m^2)
Calculando o numerador:
2,5 times 10^-6 times (0,025)^3 = 2,5 times 10^-6 times 1,5625 times 10^-5 = 3,90625 times 10^-11, C/m^2
E o denominador:
4 times 8,85 times 10^-12 = 3,54 times 10^-11, C^2/(N cdot m^2)

Passo 8

Finalmente, dividindo:
E = 3,90625 times 10^-113,54 times 10^-11 approx 1,10, N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico para é aproximadamente .

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