Huguinho ganhou uma varinha mágica em forma de um cilindro maciço, não condutor, com
de raio. Ao passar o pano na varinha cla ficou com uma densidade volumétrica de cargas não uniforme
, sendo
uma função da distância radial
a partir do cixo do cilindro dada por:
. Se
, determine o módulo do campo elétrico (a) para
; (b) para
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre uma varinha mágica em forma de cilindro não condutor com raio de
. Quando passou o pano, a varinha adquiriu uma densidade volumétrica de carga que não é uniforme, dada por
, onde
e
é a distância radial a partir do eixo do cilindro. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo elétrico em dois pontos: (a)
(dentro do cilindro) e (b)
(fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que a integral do campo elétrico
sobre uma superfície fechada
é igual à carga encerrada
dividida pela constante de permissividade do vácuo
:
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com a varinha mágica.
Passo 3
Vamos determinar o campo elétrico para o caso (a), onde
, que está dentro do cilindro. Precisamos calcular a carga encerrada dentro desse raio.
A densidade volumétrica de carga é
. Para encontrar a carga encerrada
, integramos
sobre o volume do cilindro de raio
:
Aqui,
é o comprimento do cilindro, mas como será cancelado, podemos considerar
para facilitar os cálculos.
Passo 4
Vamos realizar a integração:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, a integral do campo elétrico sobre a superfície gaussiana é:
Substituindo
:
Passo 6
Isolando
:
Agora, substituímos os valores dados. Primeiro, convertemos
para
:
E
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Passo 8
Finalmente, dividindo:
Resposta
O módulo do campo elétrico para
é aproximadamente
.