Huguinho ganhou uma varinha mágica em forma de um cilindro maciço, não condutor, com de raio. Ao passar o pano na varinha cla ficou com uma densidade volumétrica de cargas não uniforme , sendo uma função da distância radial a partir do cixo do cilindro dada por: . Se , determine o módulo do campo elétrico (a) para ; (b) para .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre uma varinha mágica em forma de cilindro não condutor com raio de . Quando passou o pano, a varinha adquiriu uma densidade volumétrica de carga que não é uniforme, dada por , onde e é a distância radial a partir do eixo do cilindro. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo elétrico em dois pontos: (a) (dentro do cilindro) e (b) (fora do cilindro). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela constante de permissividade do vácuo :
Como nosso cilindro tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com a varinha mágica.
Passo 3
Vamos determinar o campo elétrico para o caso (a), onde , que está dentro do cilindro. Precisamos calcular a carga encerrada dentro desse raio.
A densidade volumétrica de carga é . Para encontrar a carga encerrada , integramos sobre o volume do cilindro de raio :
Aqui, é o comprimento do cilindro, mas como será cancelado, podemos considerar para facilitar os cálculos.
Passo 4
Vamos realizar a integração:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, a integral do campo elétrico sobre a superfície gaussiana é:
Substituindo :
Passo 6
Isolando :
Agora, substituímos os valores dados. Primeiro, convertemos para :
E .
Passo 7
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Passo 8
Finalmente, dividindo:
Resposta
O módulo do campo elétrico para é aproximadamente .