I=2[12 integral0^pi6 sin ^2 theta d theta+12 integralpi6^pi4 cos ^2(2 theta) d theta]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão que envolve integrais de funções trigonométricas. A gente vai precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar as integrais de e .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral de sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2 . Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade:
Isso ajuda a simplificar a integração.

Passo 3

Substituímos integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta - 12 integral cos(2theta) , dtheta na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral 1 , dtheta = 12 theta
12 integral cos(2theta) , dtheta = 12 cdot sin(2theta)2 = sin(2theta)4
Então, a integral fica:
integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C

Passo 5

Vamos avaliar essa integral de [ theta2 - sin(2theta)4 ]0^pi6 = ( pi12 - sin(pi3)4 ) - (0 - 0) = pi12 - raiz3/24 = pi12 - raiz38 a :

Passo 6

Agora, vamos para a integral de cos^2 x = 1 + cos(2x)2 . Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(2theta) = 1 + cos(4theta)2
Então,

Passo 7

Substituindo na integral:
integral cos^2(2theta) , dtheta = integral 1 + cos(4theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos(4theta) , dtheta

Passo 8

Integrando cada termo:
12 integral 1 , dtheta = theta2
12 integral cos(4theta) , dtheta = 12 cdot sin(4theta)4 = sin(4theta)8
Então,
integral cos^2(2theta) , dtheta = theta2 + sin(4theta)8 + C

Passo 9

Vamos avaliar essa integral de [ theta2 + sin(4theta)8 ]pi6^pi4 = ( pi8 + sin(pi)8 ) - ( pi12 + sin(2pi3)8 ) a = pi8 - pi12 - raiz3/28 = pi24 - raiz316 :
Sabemos que e , então:

Passo 10

Voltando à expressão original:
I = 2 [ 12 ( pi12 - raiz38 ) + 12 ( pi24 - raiz316 ) ]
Simplificando dentro dos colchetes:
= 2 [ pi24 - raiz316 + pi48 - raiz332 ]
Combinando os termos semelhantes:
= 2 [ 3pi48 - 3raiz332 ] = 2 [ pi16 - 3raiz332 ] = pi8 - 3raiz316

Resposta

I = pi8 - 3raiz316

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