Passo 1
Beleza, vamos resolver essa expressão que envolve integrais de funções trigonométricas. A gente vai precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar as integrais de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral de
. Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade:
Isso ajuda a simplificar a integração.
Passo 3
Substituímos
na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos avaliar essa integral de
a
:
Passo 6
Agora, vamos para a integral de
. Usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando cada termo:
Então,
Passo 9
Vamos avaliar essa integral de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
Voltando à expressão original:
Simplificando dentro dos colchetes:
Combinando os termos semelhantes:
Resposta
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Represente geometricamente a região
e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando
é rotacionada em torno da reta
.