l=integral0^pi6 raiz48 cos ^2 theta+48 sin ^2 theta d theta+integralpi6^pi2 raiz16 sin ^2 theta+16 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de , que é a soma de duas integrais definidas envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e trigonometria. Precisaremos simplificar as expressões dentro das raízes antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira integral:
integral0^pi6 raiz48 cos^2 theta + 48 sin^2 theta , dtheta
Dentro da raiz, temos 48 (cos^2 theta + sin^2 theta) . Podemos fatorar o 48:
raiz48 times 1 = raiz48 = raiz16 times 3 = 4raiz3
Sabemos que 4raiz3 integral0^pi6 dtheta (identidade trigonométrica fundamental). Então:
Portanto, a primeira integral simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira integral:
4raiz3 integral0^pi6 dtheta = 4raiz3 [ theta ]0^pi6 = 4raiz3 ( pi6 - 0 ) = 4raiz3pi6 = 2raiz3pi3

Passo 4

Vamos para a segunda integral:
integralpi6^pi2 raiz16 sin^2 theta + 16 cos^2 theta , dtheta
Semelhante à primeira, podemos fatorar o 16:
16 (sin^2 theta + cos^2 theta)
E usando novamente a identidade raiz16 times 1 = raiz16 = 4 , temos:
4 integralpi6^pi2 dtheta
Então, a segunda integral fica:

Passo 5

Calculando a segunda integral:
4 integralpi6^pi2 dtheta = 4 [ theta ]pi6^pi2 = 4 ( pi2 - pi6 ) = 4 ( 3pi6 - pi6 ) = 4 ( 2pi6 ) = 4 ( pi3 ) = 4pi3

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
l = 2raiz3pi3 + 4pi3 = 2raiz3pi + 4pi3 = (2raiz3 + 4)pi3
Portanto, o valor de l = (2raiz3 + 4)pi3 é:

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