A=integral1^2[(2 x^2)-(2x)] d x+integral2^4[(62-15 x4)-(2x)] d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o valor de A = integral1^2[2x^2 - 2x] dx + integral2^4[62 - 15x4 - 2x] dx , que é a soma de duas integrais definidas:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração, como a linearidade da integral e as antiderivadas básicas de funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira integral:
integral1^2[2x^2 - 2x] dx
A integral definida pode ser dividida em duas partes devido à propriedade da linearidade:
integral1^22x^2 dx - integral1^22x dx

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Começando pela primeira parte:
integral 2x^2 dx
A antiderivada de 2 cdot x^33 = 23x^3 é 23x^3 |1^2 = 23(2^3) - 23(1^3) = 163 - 23 = 143 , então:
Agora, avaliamos entre 1 e 2:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda parte da primeira integral:
integral 2x dx
A antiderivada de 2 ln|x| é 2 ln 2 - 2 ln 1 = 2 ln 2 - 0 = 2 ln 2 , então:
Avaliando entre 1 e 2:

Passo 5

Subtraindo as duas partes da primeira integral:
143 - 2 ln 2

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral:
integral2^4[62 - 15x4 - 2x] dx
Novamente, vamos dividir em partes:
integral2^462 - 15x4 dx - integral2^42x dx

Passo 7

Primeiro, calculamos:
integral 62 - 15x4 dx = 14 integral (62 - 15x) dx = 14 (62x - 152x^2)
Avaliando entre 2 e 4:
14 [62(4) - 152(4)^2] - 14 [62(2) - 152(2)^2] = 14 (248 - 120) - 14 (124 - 30) = 1284 - 944 = 32 - 23.5 = 8.5

Passo 8

Agora, a segunda parte da segunda integral:
integral 2x dx = 2 ln|x|
Avaliando entre 2 e 4:
2 ln 4 - 2 ln 2 = 2 (ln 4 - ln 2) = 2 ln 2

Passo 9

Subtraindo as duas partes da segunda integral:
8.5 - 2 ln 2

Passo 10

Agora, somamos os resultados das duas integrais para encontrar A = (143 - 2 ln 2) + (8.5 - 2 ln 2) = 143 + 8.5 - 4 ln 2 :
A = 143 + 172 - 4 ln 2
Convertendo 8.5 para fração, temos A = 286 + 516 - 4 ln 2 = 796 - 4 ln 2 :
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 6:

Resposta

A = 796 - 4 ln 2

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