integral0^2 pi e^cos t cos (sen t) d t=2 pi e integral0^2 pi e^cos t sen(sen t) d t=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas integrais definidas de 0 a integral0^2 pi e^cos t cos (sin t) , dt = 2pi e integral0^2 pi e^cos t sin (sin t) , dt = 0 :
O objetivo é entender por que essas igualdades são verdadeiras. Vamos precisar usar algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais, além de conceitos de séries de Fourier e funções de Bessel. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão e^itheta = cos theta + i sin theta . Podemos reescrever essa parte usando a fórmula de Euler para combinações de funções trigonométricas e exponenciais. Lembre-se que:
e^cos t cos (sin t) = Re( e^cos t + i sin t )
Então, podemos escrever:
Aqui, “Re” significa a parte real da expressão complexa.

Passo 3

Agora, vamos observar que e^cos t + i sin t = e^e^it é igual a e^cos t cos (sin t) = Re( e^e^it ) . Portanto, podemos substituir na expressão anterior:
Então:

Passo 4

Desenvolvendo a série de Taylor para e^e^it = sumn=0^infty e^intn! , temos:
Re( e^e^it ) = sumn=0^infty cos(nt)n!
Tomando a parte real dessa série:
e^cos t cos (sin t) = sumn=0^infty cos(nt)n!
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa série de 0 a integral0^2pi e^cos t cos (sin t) , dt = integral0^2pi sumn=0^infty cos(nt)n! , dt :
= sumn=0^infty 1n! integral0^2pi cos(nt) , dt
Podemos trocar a ordem de soma e integral (desde que a série converge uniformemente):

Passo 6

Sabemos que a integral de integral0^2pi cos(nt) , dt = 2pi & se n = 0 0 & se n neq 0 de 0 a é zero para todo , e é igual a quando :

Passo 7

Aplicando isso à nossa série:
sumn=0^infty 1n! integral0^2pi cos(nt) , dt = 10! cdot 2pi + sumn=1^infty 1n! cdot 0 = 2pi

Passo 8

Portanto, concluímos que:
integral0^2pi e^cos t cos (sin t) , dt = 2pi

Passo 9

Vamos repetir o processo para a segunda integral:
integral0^2pi e^cos t sin (sin t) , dt
Usando a parte imaginária da expressão complexa:
e^cos t sin (sin t) = Im( e^e^it )
Desenvolvendo a série:
e^e^it = sumn=0^infty e^intn! Rightarrow Im( e^e^it ) = sumn=0^infty sin(nt)n!

Passo 10

Integrando de 0 a integral0^2pi e^cos t sin (sin t) , dt = integral0^2pi sumn=0^infty sin(nt)n! , dt :
= sumn=0^infty 1n! integral0^2pi sin(nt) , dt
Troca de soma e integral:

Passo 11

Sabemos que a integral de integral0^2pi sin(nt) , dt = 0 para todo n de 0 a é sempre zero para qualquer inteiro :

Passo 12

Aplicando isso à nossa série:
sumn=0^infty 1n! integral0^2pi sin(nt) , dt = sumn=0^infty 1n! cdot 0 = 0

Resposta

Portanto, concluímos que:
integral0^2pi e^cos t cos (sin t) , dt = 2pi e integral0^2pi e^cos t sin (sin t) , dt = 0

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