Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas integrais definidas de 0 a :
O objetivo é entender por que essas igualdades são verdadeiras. Vamos precisar usar algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais, além de conceitos de séries de Fourier e funções de Bessel. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão . Podemos reescrever essa parte usando a fórmula de Euler para combinações de funções trigonométricas e exponenciais. Lembre-se que:
Então, podemos escrever:
Aqui, “Re” significa a parte real da expressão complexa.

Passo 3

Agora, vamos observar que é igual a . Portanto, podemos substituir na expressão anterior:
Então:

Passo 4

Desenvolvendo a série de Taylor para , temos:
Tomando a parte real dessa série:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa série de 0 a :
Podemos trocar a ordem de soma e integral (desde que a série converge uniformemente):

Passo 6

Sabemos que a integral de de 0 a é zero para todo , e é igual a quando :

Passo 7

Aplicando isso à nossa série:

Passo 8

Portanto, concluímos que:

Passo 9

Vamos repetir o processo para a segunda integral:
Usando a parte imaginária da expressão complexa:
Desenvolvendo a série:

Passo 10

Integrando de 0 a :
Troca de soma e integral:

Passo 11

Sabemos que a integral de de 0 a é sempre zero para qualquer inteiro :

Passo 12

Aplicando isso à nossa série:

Resposta

Portanto, concluímos que:

Exercícios relacionados

(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
ou seja,
se , temos
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
Assim,
isto é,
Portanto,
  1. Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a) ;
No correio dos EUA, a
em que é o peso de uma carta em onças e é o preço correspondente do porte, em cents. Esboce o gráfico de para . Para que valores de a função é descontínua no intervalo ?
  1. Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
12. Caso seja uma função holomorfa e seja constante, mostre que é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
Consequentemente,
Logo, como , temos . Assim,
Portanto,
  1. Encontre a função tal que (ou explique porque essa função não existe).
    2.6.3 Integrais
  2. Seja a circunferência unitária parametrizada por , onde .
    (a) calcule a integral
(a)