Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas integrais definidas de 0 a :
O objetivo é entender por que essas igualdades são verdadeiras. Vamos precisar usar algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais, além de conceitos de séries de Fourier e funções de Bessel. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão . Podemos reescrever essa parte usando a fórmula de Euler para combinações de funções trigonométricas e exponenciais. Lembre-se que:
Então, podemos escrever:
Aqui, “Re” significa a parte real da expressão complexa.
Passo 3
Agora, vamos observar que é igual a . Portanto, podemos substituir na expressão anterior:
Então:
Passo 4
Desenvolvendo a série de Taylor para , temos:
Tomando a parte real dessa série:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa série de 0 a :
Podemos trocar a ordem de soma e integral (desde que a série converge uniformemente):
Passo 6
Sabemos que a integral de de 0 a é zero para todo , e é igual a quando :
Passo 7
Aplicando isso à nossa série:
Passo 8
Portanto, concluímos que:
Passo 9
Vamos repetir o processo para a segunda integral:
Usando a parte imaginária da expressão complexa:
Desenvolvendo a série:
Passo 10
Integrando de 0 a :
Troca de soma e integral:
Passo 11
Sabemos que a integral de de 0 a é sempre zero para qualquer inteiro :