Seja um anel.
Se é uma família (possivelmente infinita) de ideais em , prove que a interseção de todos os é um ideal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que a interseção de uma família de ideais em um anel também é um ideal. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Álgebra Abstrata, especificamente com anéis e ideais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um ideal e como a interseção de conjuntos funciona dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel , um subconjunto é chamado de ideal se for um subanel de e, além disso, para todo em e todo em , os produtos e também estão em . Isso garante que o ideal é estável em relação às operações do anel.

Passo 3

Agora, vamos considerar a interseção de todos os ideais da família . A interseção, denotada por , consiste nos elementos que estão em todos os . Precisamos mostrar que esse conjunto também satisfaz as condições para ser um ideal.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se é um subanel de . Para isso, precisamos ver se ele contém o elemento neutro (geralmente zero), é fechado sob adição e subtração, e sob multiplicação.
  • Elemento neutro: Como cada é um ideal, todos contêm o zero. Portanto, está na interseção.
  • Fechado sob adição: Se e estão em , então eles estão em todos os . Como cada é um ideal (portanto, um subanel), também está em todos os . Assim, está em .
  • Fechado sob subtração: Similar à adição, se e estão em , então também está em todos os .
  • Fechado sob multiplicação: Como os ideais são subanéis, se e estão em , então também está em todos os .

Passo 5

Agora, precisamos verificar a propriedade adicional dos ideais: para qualquer em e qualquer em , os produtos e devem estar em .
  • Multiplicação pela esquerda: Se está em , então está em cada . Como cada é um ideal, está em cada , portanto, em .
  • Multiplicação pela direita: De forma semelhante, está em cada , então está em .

Passo 6

Como mostramos que contém o elemento neutro, é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e também é estável sob a multiplicação por elementos de , concluímos que satisfaz todas as condições para ser um ideal em .

Resposta

Portanto, a interseção de todos os ideais na família é, de fato, um ideal em .

Exercícios relacionados

Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
Se é um ideal em um corpo , prove que ou . [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Mostre que em , em que é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e é o ideal principal gerado pelo 2.
Seja um domínio e . Mostre que se, e somente se, pra algum inversível .