Seja
um anel.
Se
é uma família (possivelmente infinita) de ideais em
, prove que a interseção de todos os
é um ideal.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que a interseção de uma família de ideais em um anel
também é um ideal. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Álgebra Abstrata, especificamente com anéis e ideais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um ideal e como a interseção de conjuntos funciona dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se for um subanel de
e, além disso, para todo
em
e todo
em
, os produtos
e
também estão em
. Isso garante que o ideal é estável em relação às operações do anel.
Passo 3
Agora, vamos considerar a interseção de todos os ideais
da família
. A interseção, denotada por
, consiste nos elementos que estão em todos os
. Precisamos mostrar que esse conjunto também satisfaz as condições para ser um ideal.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é um subanel de
. Para isso, precisamos ver se ele contém o elemento neutro (geralmente zero), é fechado sob adição e subtração, e sob multiplicação.
-
Elemento neutro: Como cada
é um ideal, todos contêm o zero. Portanto, está na interseção. -
Fechado sob adição: Se
e estão em , então eles estão em todos os . Como cada é um ideal (portanto, um subanel), também está em todos os . Assim, está em . -
Fechado sob subtração: Similar à adição, se
e estão em , então também está em todos os . -
Fechado sob multiplicação: Como os ideais são subanéis, se
e estão em , então também está em todos os .
Passo 5
Agora, precisamos verificar a propriedade adicional dos ideais: para qualquer
em
e qualquer
em
, os produtos
e
devem estar em
.
-
Multiplicação pela esquerda: Se
está em , então está em cada . Como cada é um ideal, está em cada , portanto, em . -
Multiplicação pela direita: De forma semelhante,
está em cada , então está em .
Passo 6
Como mostramos que
contém o elemento neutro, é fechado sob adição, subtração e multiplicação, e também é estável sob a multiplicação por elementos de
, concluímos que
satisfaz todas as condições para ser um ideal em
.
Resposta
Portanto, a interseção de todos os ideais
na família
é, de fato, um ideal em
.
Exercícios relacionados
Liste os ideias principais de cada anel:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Se
é um ideal em um corpo
, prove que
ou
. [Sugestão: Use o Exercício Anterior]
Mostre que
em
, em que
é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e
é o ideal principal gerado pelo 2.
Seja
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
pra algum inversível
.