Sendo
uma base, com
e
, os eixos coordenados são transformados para uma nova origem (
), obtenha no novo sistema de coordenadas
:
a) a equação do plano
.
a) a equação do plano
Passo 1
Então, a gente tem uma base de coordenadas original com os vetores
,
e
. A questão pede para mudar a origem dessas coordenadas para o ponto
e, no novo sistema de coordenadas
, encontrar a equação do plano
que originalmente é
.
Vamos precisar entender como fazer a mudança de origem nas coordenadas e como isso afeta a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando mudamos a origem das coordenadas, estamos basicamente deslocando todo o sistema para um novo ponto. Isso significa que cada ponto
no sistema antigo agora será representado como
no novo sistema, onde:
Essas equações dizem como converter as coordenadas do novo sistema para o antigo, considerando o deslocamento da origem.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano
original para encontrar a equação no novo sistema de coordenadas. A equação original é:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo:
- Distribuir os coeficientes:
- Agrupar os termos semelhantes:
- Calcular a soma constante:
Então, a equação fica:
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a equação do plano
no novo sistema de coordenadas
:
Resposta
No novo sistema de coordenadas
, a equação do plano
é: