Sendo (uuu, uuu, ww) uma base, com û = di/dt, v̂ = d²k/dt² e w = ddu(i) + 2 ddu(j) - ddu(k), os eixos coordenados são transformados para uma nova origem ( 1,2,-1 ), obtenha no novo sistema de coordenadas (x', y', z') :
a) a equação do plano pi: x - 3y + 2z - 2 = 0.

Passo 1

Então, a gente tem uma base de coordenadas original com os vetores , e . A questão pede para mudar a origem dessas coordenadas para o ponto e, no novo sistema de coordenadas , encontrar a equação do plano que originalmente é .
Vamos precisar entender como fazer a mudança de origem nas coordenadas e como isso afeta a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando mudamos a origem das coordenadas, estamos basicamente deslocando todo o sistema para um novo ponto. Isso significa que cada ponto no sistema antigo agora será representado como no novo sistema, onde:
Essas equações dizem como converter as coordenadas do novo sistema para o antigo, considerando o deslocamento da origem.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano original para encontrar a equação no novo sistema de coordenadas. A equação original é:
Substituindo , e :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
  1. Agrupar os termos semelhantes:
  1. Calcular a soma constante:
Então, a equação fica:

Passo 5

Finalmente, podemos escrever a equação do plano no novo sistema de coordenadas :

Resposta

No novo sistema de coordenadas , a equação do plano é:

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