I=integral x^4+2 x^21+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral . A matéria aqui envolve cálculo de integrais, especificamente integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão polinomial e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral fazendo uma divisão polinomial. Queremos dividir o numerador pelo denominador .

Passo 3

Dividindo x^4 + 2x^2 - (x^4 + x^2) = x^2 por x^4 + 2x^21 + x^2 = x^2 + x^21 + x^2 , obtemos . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, a divisão nos dá:

Passo 4

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
I = integral x^2 , dx + integral x^21 + x^2 , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

A primeira integral é direta:
integral x^2 , dx = x^33 + C1
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Para a segunda integral, simplificamos a fração:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2
Então, a integral fica:
integral (1 - 11 + x^2) dx = integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx
Resolvendo cada parte:
integral 1 , dx = x + C2
integral 11 + x^2 , dx = arctan(x) + C3
Então, juntando:
integral x^21 + x^2 , dx = x - arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

Somando as integrais resolvidas, temos:
I = x^33 + x - arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

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