Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a integral:
Aqui, estamos trabalhando com uma integral que envolve um polinômio dividido por outro polinômio. O conteúdo que vamos usar para resolver isso inclui divisão de polinômios e integração por partes ou decomposição em frações mais simples. Vamos precisar dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão de polinômios. Queremos dividir o numerador pelo denominador .
Ao dividir por , a gente obtém . Agora, multiplicamos por para subtrair do numerador:
Subtraindo isso do numerador:

Passo 3

Continuamos a divisão com o novo polinômio .
Dividimos por e obtemos . Multiplicamos por :
Subtraindo isso do polinômio atual:
Então, a divisão resulta em:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral original usando o resultado da divisão:
Isso quebra a integral em partes mais simples que podemos integrar separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
  3. Integral de :
    Sabemos que:
    Então:

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

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Suponha uma função diferenciável. Sejam e . Sabendo-se que e , determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Determine as cocrdenadas do vértice da função quadrática expressa por
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no ponto .