I=integral x^5+3 x^3+2 x-1x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a integral:
I = integral x^5 + 3x^3 + 2x - 1x^2 + 1 , dx
Aqui, estamos trabalhando com uma integral que envolve um polinômio dividido por outro polinômio. O conteúdo que vamos usar para resolver isso inclui divisão de polinômios e integração por partes ou decomposição em frações mais simples. Vamos precisar dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão de polinômios. Queremos dividir o numerador x^3 cdot (x^2 + 1) = x^5 + x^3 pelo denominador (x^5 + 3x^3 + 2x - 1) - (x^5 + x^3) = 2x^3 + 2x - 1 .
Ao dividir por , a gente obtém . Agora, multiplicamos por para subtrair do numerador:
Subtraindo isso do numerador:

Passo 3

Continuamos a divisão com o novo polinômio 2x cdot (x^2 + 1) = 2x^3 + 2x .
Dividimos (2x^3 + 2x - 1) - (2x^3 + 2x) = -1 por x^3 + 2x + -1x^2 + 1 e obtemos . Multiplicamos por :
Subtraindo isso do polinômio atual:
Então, a divisão resulta em:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral original usando o resultado da divisão:
I = integral ( x^3 + 2x + -1x^2 + 1 ) , dx
Isso quebra a integral em partes mais simples que podemos integrar separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral x^3 , dx = x^44 :
    integral 2x , dx = x^2
  2. Integral de integral 1x^2 + 1 , dx = tan^-1(x) :
    integral -1x^2 + 1 , dx = -tan^-1(x)
  3. Integral de :
    Sabemos que:
    Então:

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
I = x^44 + x^2 - tan^-1(x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
I = x^44 + x^2 - tan^-1(x) + C

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