Seja f: R^3 R uma função dada por f(x, y, z)=x^2+y^3+z^4, com x=x(t, u, v), y=y(t, u, v) e z=z(t, u, v). Sabendo que x(0,0,1)=5, y(0,0,1)=2, z(0,0,1)=-1, partial xpartial t(0,0,1)=partial ypartial t(0,0,1)=partial zpartial t(0,0,1)=1, partial xpartial u(0,0,1)= partial ypartial u(0,0,1)=-1, partial xpartial v(0,0,1)=partial ypartial v(0,0,1)=3, calcule as derivadas parciais de
F(t, u, v)=f(x(t, u, v), y(t, u, v), z(t, u, v))
no ponto (0,0,1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de uma função composta. A função principal é e as variáveis dependem de . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função composta que estamos lidando. Temos:
F(t, u, v) = f(x(t, u, v), y(t, u, v), z(t, u, v)) = x^2 + y^3 + z^4
Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t + partial fpartial z cdot partial zpartial t em relação a partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 3y^2, partial fpartial z = 4z^3 . Pela Regra da Cadeia:
partial fpartial x = 2 times 5 = 10
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial fpartial y = 3 times 2^2 = 12 :
partial fpartial z = 4 times (-1)^3 = -4
No ponto partial xpartial t = 1, partial ypartial t = 1, partial zpartial t = 1 , temos partial Fpartial t = 10 times 1 + 12 times 1 + (-4) times 1 = 10 + 12 - 4 = 18 , , . Substituindo:
Agora, usando as derivadas fornecidas:
Substituindo na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u + partial fpartial z cdot partial zpartial u em relação a partial xpartial u = -1, partial ypartial u = -1, partial zpartial u não foi fornecida, assumimos ser 0 :
partial Fpartial u = 10 times (-1) + 12 times (-1) + (-4) times 0 = -10 -12 + 0 = -22
Usando as mesmas derivadas parciais de no ponto :
ã
Substituindo:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v + partial fpartial z cdot partial zpartial v em relação a partial xpartial v = 3, partial ypartial v = 3, partial zpartial v não foi fornecida, assumimos ser 0 :
partial Fpartial v = 10 times 3 + 12 times 3 + (-4) times 0 = 30 + 36 + 0 = 66
Usando as derivadas parciais de no ponto :
ã
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais de partial Fpartial t(0,0,1) = 18 no ponto partial Fpartial u(0,0,1) = -22 são:
partial Fpartial v(0,0,1) = 66

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