Seja
uma função dada por
, com
e
. Sabendo que
, calcule as derivadas parciais de
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de uma função composta. A função principal é
e as variáveis
dependem de
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função composta que estamos lidando. Temos:
Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Pela Regra da Cadeia:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
No ponto
, temos
,
,
. Substituindo:
Agora, usando as derivadas fornecidas:
Substituindo na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando as mesmas derivadas parciais de
no ponto
:
Substituindo:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando as derivadas parciais de
no ponto
:
Substituindo:
Resposta
As derivadas parciais de
no ponto
são:
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Sabendo que
e
e
, calcule
.
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