Se a=3,0 i-4,0 j e b=-2,0 i+3,0 k, qual é c=a X b ? Resp.: -12 i-9 j-8 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores:
a = 3,0, i - 4,0, j
b = -2,0, i + 3,0, k
O objetivo é encontrar o vetor c que é o produto vetorial de a e b, ou seja, c = a times b. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é feito o produto vetorial. Para dois vetores u = u1, i + u2, j + u3, k e v = v1, i + v2, j + v3, k, o produto vetorial u times v é dado por:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar os componentes do vetor resultante.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dos vetores a e b:
a = 3,0, i - 4,0, j + 0, k
b = -2,0, i + 0, j + 3,0, k
Note que faltou o componente k no vetor a, então colocamos 0 para manter a consistência na matriz.

Passo 4

Agora, montamos a matriz para calcular o determinante:
c = a times b = i & j & k 3,0 & -4,0 & 0 -2,0 & 0 & 3,0
Vamos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão por cofatores.

Passo 5

Calculando cada componente:
  • Componente i:
i cdot (-4,0 times 3,0 - 0 times 0) = i cdot (-12,0 - 0) = -12, i
  • Componente j:
-j cdot (3,0 times 3,0 - 0 times (-2,0)) = -j cdot (9,0 - 0) = -9, j
  • Componente k:
k cdot (3,0 times 0 - (-4,0) times (-2,0)) = k cdot (0 - 8,0) = -8, k

Resposta

Portanto, o vetor c é:
c = -12, i - 9, j - 8, k

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