Use a definição de produto escalar, a cdot b=ab cos theta, e o fato de que a cdot b=ax bx+ay by+az bz, para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por a=3,0 i+3,0 j+3,0 k e b=2,0 i+1,0 j+3,0 k Resp.: 22^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A gente vai usar a definição de produto escalar, que envolve o cosseno do ângulo entre os vetores, e também a forma de calcular o produto escalar pelas componentes dos vetores. Vamos precisar saber como calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores a e b pelas componentes. A fórmula é:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Vamos substituir os valores:
a cdot b = (3,0)(2,0) + (3,0)(1,0) + (3,0)(3,0)
a cdot b = 6 + 3 + 9 = 18

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para o vetor a:
|a| = raiz3,0^2 + 3,0^2 + 3,0^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
Para o vetor b:
|b| = raiz2,0^2 + 1,0^2 + 3,0^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, usamos a definição do produto escalar para encontrar o ângulo theta:
a cdot b = |a| |b| cos theta
Substituindo os valores que encontramos:
18 = (3raiz3)(raiz14) cos theta
18 = 3raiz42 cos theta

Passo 5

Vamos isolar o cos theta:
cos theta = 183raiz42 = 6raiz42 = 6raiz4242 = raiz427

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1(raiz427)
Calculando isso com uma calculadora, obtemos aproximadamente:
theta approx 22^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 22^circ.

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