Três vetores satisfazem a relação: B = A + C. A tem módulo igual a 22,0 unidades e está direcionado em um ângulo de
(no sentido horário em relação ao sentido positivo de um eixo x. C tem módulo de 17,0 unidades e está dirigido segundo um ângulo
no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo x. B aponta no sentido positivo do eixo x. Qual é o módulo de B? Resp.: 20,5 unidades.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores: A, B e C, onde B é a soma de A e C (B = A + C). Sabemos o seguinte:
- O vetor A tem módulo de 22 unidades e está direcionado a um ângulo de -47° (ou seja, 47° no sentido horário a partir do eixo x positivo).
- O vetor C tem módulo de 17 unidades e está direcionado a um ângulo α no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
- O vetor B está totalmente direcionado ao longo do eixo x positivo.
Nosso objetivo é encontrar o módulo de B.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de decomposição de vetores nas direções dos eixos x e y, além das regras de soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor os vetores A e C em suas componentes horizontais (eixo x) e verticais (eixo y).
Para um vetor com módulo $ M $ e ângulo $ \theta $:
- Componente x: $ M_x = M \cos(\theta) $
- Componente y: $ M_y = M \sin(\theta) $
Vamos aplicar isso para o vetor A:
- $ A_x = 22 \cos(-47°) $
- $ A_y = 22 \sin(-47°) $
E para o vetor C:
- $ C_x = 17 \cos(\alpha) $
- $ C_y = 17 \sin(\alpha) $
Passo 3
Como B = A + C, as componentes de B serão a soma das componentes correspondentes de A e C.
Portanto:
- $ B_x = A_x + C_x = 22 \cos(-47°) + 17 \cos(\alpha) $
- $ B_y = A_y + C_y = 22 \sin(-47°) + 17 \sin(\alpha) $
Passo 4
Sabemos que o vetor B está totalmente direcionado ao longo do eixo x positivo. Isso significa que sua componente y é zero:
- $ B_y = 0 $
Então, podemos escrever:
- $ 22 \sin(-47°) + 17 \sin(\alpha) = 0 $
Isso nos permite encontrar o ângulo $ \alpha $ em termos de $ \sin^{-1} $ ou usando relações trigonométricas.
Passo 5
Resolvendo a equação para $ \alpha $:
- $ 17 \sin(\alpha) = -22 \sin(-47°) $
- Como $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, temos:
- $ 17 \sin(\alpha) = -22 (-\sin(47°)) = 22 \sin(47°) $
- Portanto:
- $ \sin(\alpha) = \frac{22 \sin(47°)}{17} $
Calculando $ \sin(47°) $:
- $ \sin(47°) \approx 0,7314 $
- Então:
- $ \sin(\alpha) = \frac{22 \times 0,7314}{17} \approx \frac{16,0908}{17} \approx 0,9471 $
Agora, calculamos $ \alpha $:
- $ \alpha = \sin^{-1}(0,9471) \approx 71,6° $
Passo 6
Agora que temos $ \alpha $, podemos calcular a componente x de B:
- $ B_x = 22 \cos(-47°) + 17 \cos(71,6°) $
Calculando os cossenos:
- $ \cos(-47°) = \cos(47°) \approx 0,68199 $
- $ \cos(71,6°) \approx 0,3214 $
Substituindo:
- $ B_x = 22 \times 0,68199 + 17 \times 0,3214 $
- $ B_x \approx 15,0038 + 5,464 $
- $ B_x \approx 20,4678 $
Resposta
O módulo de $ B $ é aproximadamente 20,5 unidades.