Três vetores satisfazem a relação: B = A + C. A tem módulo igual a 22,0 unidades e está direcionado em um ângulo de -47^circ (no sentido horário em relação ao sentido positivo de um eixo x. C tem módulo de 17,0 unidades e está dirigido segundo um ângulo alpha no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo x. B aponta no sentido positivo do eixo x. Qual é o módulo de B? Resp.: 20,5 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores: A, B e C, onde B é a soma de A e C (B = A + C). Sabemos o seguinte:
  • O vetor A tem módulo de 22 unidades e está direcionado a um ângulo de -47° (ou seja, 47° no sentido horário a partir do eixo x positivo).
  • O vetor C tem módulo de 17 unidades e está direcionado a um ângulo α no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
  • O vetor B está totalmente direcionado ao longo do eixo x positivo.
Nosso objetivo é encontrar o módulo de B.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de decomposição de vetores nas direções dos eixos x e y, além das regras de soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor os vetores A e C em suas componentes horizontais (eixo x) e verticais (eixo y).
Para um vetor com módulo $ M $ e ângulo $ \theta $:
  • Componente x: $ M_x = M \cos(\theta) $
  • Componente y: $ M_y = M \sin(\theta) $
Vamos aplicar isso para o vetor A:
  • $ A_x = 22 \cos(-47°) $
  • $ A_y = 22 \sin(-47°) $
E para o vetor C:
  • $ C_x = 17 \cos(\alpha) $
  • $ C_y = 17 \sin(\alpha) $

Passo 3

Como B = A + C, as componentes de B serão a soma das componentes correspondentes de A e C.
Portanto:
  • $ B_x = A_x + C_x = 22 \cos(-47°) + 17 \cos(\alpha) $
  • $ B_y = A_y + C_y = 22 \sin(-47°) + 17 \sin(\alpha) $

Passo 4

Sabemos que o vetor B está totalmente direcionado ao longo do eixo x positivo. Isso significa que sua componente y é zero:
  • $ B_y = 0 $
Então, podemos escrever:
  • $ 22 \sin(-47°) + 17 \sin(\alpha) = 0 $
Isso nos permite encontrar o ângulo $ \alpha $ em termos de $ \sin^{-1} $ ou usando relações trigonométricas.

Passo 5

Resolvendo a equação para $ \alpha $:
  • $ 17 \sin(\alpha) = -22 \sin(-47°) $
  • Como $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, temos:
  • $ 17 \sin(\alpha) = -22 (-\sin(47°)) = 22 \sin(47°) $
  • Portanto:
  • $ \sin(\alpha) = \frac{22 \sin(47°)}{17} $
Calculando $ \sin(47°) $:
  • $ \sin(47°) \approx 0,7314 $
  • Então:
  • $ \sin(\alpha) = \frac{22 \times 0,7314}{17} \approx \frac{16,0908}{17} \approx 0,9471 $
Agora, calculamos $ \alpha $:
  • $ \alpha = \sin^{-1}(0,9471) \approx 71,6° $

Passo 6

Agora que temos $ \alpha $, podemos calcular a componente x de B:
  • $ B_x = 22 \cos(-47°) + 17 \cos(71,6°) $
Calculando os cossenos:
  • $ \cos(-47°) = \cos(47°) \approx 0,68199 $
  • $ \cos(71,6°) \approx 0,3214 $
Substituindo:
  • $ B_x = 22 \times 0,68199 + 17 \times 0,3214 $
  • $ B_x \approx 15,0038 + 5,464 $
  • $ B_x \approx 20,4678 $

Resposta

O módulo de $ B $ é aproximadamente 20,5 unidades.

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