Um ponto se desloca de modo que módulo da diferença de sua distância aos pontos e é igual a . A equação cartesiana geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move de tal forma que a diferença das distâncias dele a dois pontos fixos e tem módulo igual a vezes a distância entre e . Estamos falando de uma hipérbole, que é um tipo de curva que descreve esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de álgebra para chegar na equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, a condição do problema diz que a diferença das distâncias do ponto aos focos e é igual a vezes a distância entre os focos. Em fórmula:
Vamos escrever as distâncias:
Passo 4
Substituindo na equação:
Para facilitar, vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e as raízes:
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo:
onde e .
Então:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Primeiro, some :
Depois, some :
Então, a equação fica:
Passo 7
Somando os termos constantes e organizando:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 9
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado novamente:
Este é um ponto complexo para expandir completamente, mas para obter a equação geral da hipérbole, podemos reconhecer que já estamos lidando com as condições padrão de uma hipérbole deslocada em relação à origem.