Um ponto
se desloca de modo que módulo da diferença de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
que se move de tal forma que a diferença das distâncias dele a dois pontos fixos
e
tem módulo igual a
vezes a distância entre
e
. Estamos falando de uma hipérbole, que é um tipo de curva que descreve esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de álgebra para chegar na equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos
e
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, a condição do problema diz que a diferença das distâncias do ponto
aos focos
e
é igual a
vezes a distância entre os focos. Em fórmula:
Vamos escrever as distâncias:
Passo 4
Substituindo na equação:
Para facilitar, vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e as raízes:
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo:
onde
e
.
Então:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Primeiro, some
:
Depois, some
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Somando os termos constantes e organizando:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 9
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado novamente:
Este é um ponto complexo para expandir completamente, mas para obter a equação geral da hipérbole, podemos reconhecer que já estamos lidando com as condições padrão de uma hipérbole deslocada em relação à origem.
Resposta
A equação cartesiana geral da hipérbole é