(i) Lembre-se: uma função
é dita periódica de período
(ou apenas
-periódica) se existe um número real
tal que
para todo
. Observe que se uma função tem período
então
para todo
, ou seja, é também periódica de período
.
menor
é chamado de período fundamental de uma função
-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
c)
, para
.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
c)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função
é periódica. Se for, precisamos encontrar o seu período fundamental. Vamos usar conceitos de periodicidade em funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é dita periódica de período
se, para todo
, a seguinte igualdade vale:
O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Para verificar se ela é periódica, precisamos ver se existe um valor
tal que:
para todo
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 5
Para que
para todo
, os coeficientes dos termos de
,
,
e o termo constante devem ser iguais em ambas as expressões.
Comparando com
, temos:
- Coeficiente de
: (ok) - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver as equações:
Passo 7
Observamos que a única solução comum para as três equações é
. Porém, o período
deve ser um número real positivo (
). Como não existe nenhum
que satisfaça todas as equações simultaneamente, a função
não é periódica.
Resposta
A função
não é periódica.