(i) Lembre-se: uma função f: R -> R é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que f(x + T) = f(x) para todo x em R. Observe que se uma função tem período T então f(x+n T) = f(x) para todo n em Z, ou seja, é também periódica de período n T. O menor T > 0 é chamado de período fundamental de uma função T-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
c) f(x) = x^3 - x^2, para x em R.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função é periódica. Se for, precisamos encontrar o seu período fundamental. Vamos usar conceitos de periodicidade em funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é dita periódica de período se, para todo , a seguinte igualdade vale:
O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Para verificar se ela é periódica, precisamos ver se existe um valor tal que:
para todo .

Passo 4

Vamos calcular :
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 5

Para que para todo , os coeficientes dos termos de , , e o termo constante devem ser iguais em ambas as expressões.
Comparando com , temos:
  1. Coeficiente de : (ok)
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante:

Passo 6

Vamos resolver as equações:

Passo 7

Observamos que a única solução comum para as três equações é . Porém, o período deve ser um número real positivo ( ). Como não existe nenhum que satisfaça todas as equações simultaneamente, a função não é periódica.

Resposta

A função não é periódica.

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