(i) Lembre-se: uma função
é dita periódica de período
(ou apenas
-periódica) se existe um número real
tal que
para todo
. Observe que se uma função tem período
então
para todo
, ou seja, é também periódica de período
.
menor
é chamado de período fundamental de uma função
-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
b)
, para
.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas. Uma função é periódica se ela se repete a cada certo intervalo, chamado de período. Aqui, temos a função
. Nosso objetivo é verificar se essa função é periódica e, se for, descobrir qual é o menor período possível, conhecido como período fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções seno são periódicas. A função
tem período
, ou seja, ela se repete a cada
unidades. Já a função
tem um período diferente. Para encontrar o período de
, usamos a fórmula geral para o período de
, que é
. Aqui,
, então o período é
.
Passo 3
Agora, temos dois períodos:
para
e
para
. Para a função
ser periódica, os dois termos devem ter um múltiplo comum desses períodos. Ou seja, precisamos encontrar o menor número
que seja múltiplo de
e de
.
Passo 4
Vamos procurar o menor múltiplo comum (MMC) entre
e
. Como
é irracional e
é racional, eles não têm um múltiplo comum finito. Isso significa que não existe um
que satisfaça
para todo
.
Resposta
A função
não é periódica.