(i) Lembre-se: uma função f: R -> R é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que f(x + T) = f(x) para todo x em R. Observe que se uma função tem período T então f(x+n T) = f(x) para todo n em Z, ou seja, é também periódica de período n T. O menor T > 0 é chamado de período fundamental de uma função T-periódica.
Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, nos casos em que foram periódicas, encontrar o seu período fundamental:
b) f(x) = sen(x) + sen(pi x), para x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas. Uma função é periódica se ela se repete a cada certo intervalo, chamado de período. Aqui, temos a função . Nosso objetivo é verificar se essa função é periódica e, se for, descobrir qual é o menor período possível, conhecido como período fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções seno são periódicas. A função tem período , ou seja, ela se repete a cada unidades. Já a função tem um período diferente. Para encontrar o período de , usamos a fórmula geral para o período de , que é . Aqui, , então o período é .

Passo 3

Agora, temos dois períodos: para e para . Para a função ser periódica, os dois termos devem ter um múltiplo comum desses períodos. Ou seja, precisamos encontrar o menor número que seja múltiplo de e de .

Passo 4

Vamos procurar o menor múltiplo comum (MMC) entre e . Como é irracional e é racional, eles não têm um múltiplo comum finito. Isso significa que não existe um que satisfaça para todo .

Resposta

A função não é periódica.

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