(i) lim n +infty(1+3n)^5 n+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite quando tende ao infinito de . Vamos usar conceitos de limites envolvendo exponenciais e a definição do número . Precisaremos entender como manipular expressões com potências que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o trabalho com o limite:
(1+3n)^5n+2 = [(1+3n)^n]^5 times (1+3n)^2
Isso separa a expressão em duas partes: uma que podemos relacionar com a definição de e outra que será tratada separadamente.

Passo 3

Sabemos que:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
No nosso caso, limn to infty (1 + 3n)^n = e^3 . Então:
Portanto, tende para quando vai para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira parte da expressão reescrita:
[(1+3n)^n]^5 to (e^3)^5 = e^15
Isso acontece porque quando elevamos uma potência a outra, multiplicamos os expoentes.

Passo 5

Em relação à segunda parte da expressão:
(1+3n)^2
Quando (1+3n)^2 to 1^2 = 1 tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 6

Multiplicando as duas partes que encontramos:
e^15 times 1 = e^15
Portanto, o limite da expressão original é .

Resposta

lim n +infty(1+3n)^5n+2 = e^15

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