use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
Com as condições iniciais:
Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver a equação no domínio transformado para depois voltar ao domínio original.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada
é:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais:
Isso simplifica a equação para:
Ou seja:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 5
Vamos fazer frações parciais para decompor
. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Explicando, estamos tentando encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade para todo
.
Passo 6
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos por potências de
:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Da primeira equação, sabendo que
:
Então,
.
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Então,
.
Passo 9
Substituindo os valores encontrados na decomposição:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A solução do problema é: