use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) {y^iv - k^4 y = 0; y(0) = 1; y'(0) = 0; y''(0) = 0; y'''(0) = 0}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de quarta ordem:
Com as condições iniciais:
Vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver a equação no domínio transformado para depois voltar ao domínio original.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais:
Isso simplifica a equação para:
Ou seja:

Passo 4

Agora, isolamos :
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 5

Vamos fazer frações parciais para decompor . Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por :
Explicando, estamos tentando encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade para todo .

Passo 6

Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos por potências de :

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
Da primeira equação, sabendo que :
Então, .
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Então, .

Passo 9

Substituindo os valores encontrados na decomposição:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A solução do problema é:

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