(a) lim x +infty (x+1)^3x^3+1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite quando tende a mais infinito da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções polinomiais e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 . Lembra da fórmula do binômio de Newton? Ela nos ajuda a expandir potências de binômios. Então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na função original:
(x+1)^3x^3 + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1x^3 + 1

Passo 4

Para simplificar essa fração, vamos dividir cada termo do numerador pelo termo de maior grau no denominador, que é x^3 + 3x^2 + 3x + 1x^3 + 1 = x^3x^3 + 3x^2x^3 + 3xx^3 + 1x^3 = 1 + 3x + 3x^2 + 1x^3 . Isso ajuda a identificar o comportamento da função quando cresce sem limites:

Passo 5

Agora, analisamos cada termo da expressão resultante quando 1 + 0 + 0 + 0 = 1 tende a mais infinito:
  • tende a 0, porque está no denominador e cresce sem limites.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
  • tende a 0 igualmente.
Então, temos:

Resposta

O limite é 1.

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§ lim x 3 sen(x)x.