i) verifique as leis de De Morgan com diagramas de Euler-Venn;
Leis de
ii) prove-as também algebricamente.
De Morgan:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui: primeiro, verificar as Leis de De Morgan usando diagramas de Euler-Venn e, segundo, provar essas leis de forma algébrica. As Leis de De Morgan são importantes na teoria dos conjuntos e na lógica, e vamos precisar entender como funcionam os diagramas de Euler-Venn e um pouco de álgebra de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar falando sobre os diagramas de Euler-Venn. Eles são ferramentas visuais que nos ajudam a entender as relações entre diferentes conjuntos. Imagine que cada conjunto é representado por um círculo, e a sobreposição dos círculos mostra como os conjuntos se relacionam. Se quisermos representar a união de dois conjuntos, desenhamos dois círculos que se sobrepõem. Para a interseção, olhamos apenas para a área onde os círculos se cruzam.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à primeira lei de De Morgan:
O lado esquerdo da equação, , representa todos os elementos que NÃO estão nem em A nem em B. No diagrama de Euler-Venn, isso seria a área fora dos dois círculos.

Passo 4

O lado direito da equação, , significa todos os elementos que NÃO estão em A e NÃO estão em B ao mesmo tempo. No diagrama, isso também corresponde à área fora dos dois círculos. Então, visualmente, vemos que ambas as expressões representam a mesma região, confirmando a primeira lei de De Morgan.

Passo 5

Vamos para a segunda lei de De Morgan:
Aqui, representa todos os elementos que NÃO estão ambos em A e B simultaneamente. No diagrama, isso seria toda a área fora da interseção dos dois círculos.

Passo 6

Do outro lado, significa todos os elementos que NÃO estão em A ou NÃO estão em B. No diagrama, isso cobre todas as regiões fora de A e fora de B, que inclui tudo que não está na interseção. Portanto, novamente vemos que ambas as expressões representam a mesma área no diagrama de Euler-Venn, confirmando a segunda lei de De Morgan.

Passo 7

Agora, vamos provar essas leis de forma algébrica usando operações de conjuntos. Vamos começar com a primeira lei:
Para provar isso, pegamos qualquer elemento x e verificamos se ele está em um lado da equação e o outro lado.

Passo 8

Se x está em , então x NÃO está em A nem em B. Isso significa que x está em E em , ou seja, x está em .

Passo 9

Conversamente, se x está em , então x NÃO está em A E NÃO está em B. Portanto, x NÃO está em , o que significa que x está em .

Passo 10

Como mostramos que se x está de um lado, ele está do outro, e vice-versa, concluímos que:

Passo 11

Vamos agora para a segunda lei:
Novamente, pegamos qualquer elemento x e verificamos sua presença em ambos os lados.

Passo 12

Se x está em , então x NÃO está em A E B ao mesmo tempo. Isso significa que x está em OU em , ou seja, x está em .

Passo 13

Por outro lado, se x está em , então x NÃO está em A ou NÃO está em B (ou ambos). Portanto, x NÃO pode estar nos dois conjuntos ao mesmo tempo, o que significa que x está em .

Passo 14

Como estabelecemos a equivalência nos dois sentidos, concluímos que:

Resposta

As Leis de De Morgan foram verificadas tanto com diagramas de Euler-Venn quanto de forma algébrica, demonstrando que:
e

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