Provar que
para todo
natural maior que 3 .
Passo 1
Vamos provar que
para todo número natural
maior que 3. Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos:
-
significa fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até (por exemplo, ). -
significa 2 elevado à potência n, ou seja, 2 multiplicado por si mesmo vezes (por exemplo, ).
Passo 3
Vamos começar a prova pela base da indução, verificando se a afirmação é verdadeira para
:
-
-
Como, a base da indução está confirmada.
Passo 4
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja, assumimos que
. Essa é a hipótese de indução.
Passo 5
Precisamos mostrar que, se
, então
. Vamos calcular
:
Passo 6
Usando a hipótese de indução (
), substituímos na equação:
Passo 7
Agora, vamos comparar com
:
Passo 8
Notamos que
para
. Portanto:
-
- Ou seja,
Resposta
Portanto,
para todo número natural
maior que 3.
Exercícios relacionados
(Valor 0,5 ). A substituição
transforma a integral
em qual das seguintes alternativas?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
(Valor 1,0). Aplique a Regra do Fator Linear para a função racional da integral abaixo e ache as frações parciais. Não Precisa calcular.
Sejam a, b e d números inteiros, tais que a e b são ambos divisíveis por d. Prove que a+b e a-b também são divisíveis por d.
i) verifique as leis de De Morgan com diagramas de Euler-Venn;
Leis de
Leis de
ii) prove-as também algebricamente.
De Morgan:
De Morgan: