Provar que n! > 2^n para todo n natural maior que 3 .

Passo 1

Vamos provar que para todo número natural maior que 3. Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos:
  • significa fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até (por exemplo, ).
  • significa 2 elevado à potência n, ou seja, 2 multiplicado por si mesmo vezes (por exemplo, ).

Passo 3

Vamos começar a prova pela base da indução, verificando se a afirmação é verdadeira para :

  • Como , a base da indução está confirmada.

Passo 4

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, assumimos que . Essa é a hipótese de indução.

Passo 5

Precisamos mostrar que, se , então . Vamos calcular :

Passo 6

Usando a hipótese de indução ( ), substituímos na equação:

Passo 7

Agora, vamos comparar com :

Passo 8

Notamos que para . Portanto:
  • Ou seja,

Resposta

Portanto, para todo número natural maior que 3.

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