Sejam a, b e d números inteiros, tais que a e b são ambos divisíveis por d. Prove que a+b e a-b também são divisíveis por d.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem três números inteiros:
,
e
. Sabemos que tanto
quanto
são divisíveis por
. A nossa missão é mostrar que a soma
e a diferença
também são divisíveis por
. Para isso, vamos usar o conceito de divisibilidade e expressar os números de uma forma que fique fácil de ver que a divisibilidade continua valendo.
Passo 2
Primeiro, como
e
são divisíveis por
, podemos escrever eles como múltiplos de
. Ou seja, existe um número inteiro
tal que:
E existe outro número inteiro
tal que:
Aqui,
e
são inteiros porque
e
são múltiplos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma
:
Podemos fatorar o
dessa expressão:
Como
é um número inteiro (porque a soma de inteiros é inteira), isso mostra que
é um múltiplo de
. Portanto,
é divisível por
.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo com a diferença
:
Fatorando o
:
Novamente,
é um número inteiro, então
também é um múltiplo de
. Assim,
é divisível por
.
Resposta
Concluímos que tanto
quanto
são divisíveis por
.