Sejam a, b e d números inteiros, tais que a e b são ambos divisíveis por d. Prove que a+b e a-b também são divisíveis por d.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem três números inteiros: , e . Sabemos que tanto quanto são divisíveis por . A nossa missão é mostrar que a soma e a diferença também são divisíveis por . Para isso, vamos usar o conceito de divisibilidade e expressar os números de uma forma que fique fácil de ver que a divisibilidade continua valendo.

Passo 2

Primeiro, como e são divisíveis por , podemos escrever eles como múltiplos de . Ou seja, existe um número inteiro tal que:
E existe outro número inteiro tal que:
Aqui, e são inteiros porque e são múltiplos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma :
Podemos fatorar o dessa expressão:
Como é um número inteiro (porque a soma de inteiros é inteira), isso mostra que é um múltiplo de . Portanto, é divisível por .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo com a diferença :
Fatorando o :
Novamente, é um número inteiro, então também é um múltiplo de . Assim, é divisível por .

Resposta

Concluímos que tanto quanto são divisíveis por .

Exercícios relacionados

Provar que para todo natural maior que 3 .
(Valor 0,5 ). A substituição transforma a integral em qual das seguintes alternativas?
a)
b)
c)
d)
e)
i) verifique as leis de De Morgan com diagramas de Euler-Venn;
Leis de
ii) prove-as também algebricamente.
De Morgan:
Prove que se duas frações e são iguais, então .